Номер 3.220, страница 209 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.220. Решите систему неравенств:

a) $$\begin{cases} 3x^2 - 2x - 1 < 0, \\ x \le 0; \end{cases}$$

б) $$\begin{cases} 2x^2 + 7x - 9 \ge 0, \\ 7 - 4x < 0. \end{cases}$$

а) Рассмотрим систему неравенств: $$ \begin{cases} 3x^2 - 2x - 1 < 0 \\ x \le 0 \end{cases} $$ Сначала решим первое, квадратное неравенство $3x^2 - 2x - 1 < 0$. Для этого найдем корни соответствующего уравнения $3x^2 - 2x - 1 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$.
Корни уравнения: $$ x_1 = \frac{2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3} $$ $$ x_2 = \frac{2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1 $$ Графиком функции $y = 3x^2 - 2x - 1$ является парабола с ветвями вверх (так как $a=3 > 0$). Неравенство $3x^2 - 2x - 1 < 0$ выполняется на интервале между корнями, то есть $x \in (-\frac{1}{3}; 1)$.

Решение второго неравенства $x \le 0$ — это промежуток $(-\infty; 0]$.

Теперь найдем пересечение (общую часть) решений обоих неравенств: $(-\frac{1}{3}; 1) \cap (-\infty; 0]$. Решением системы является промежуток $(-\frac{1}{3}; 0]$.

Ответ: $(-\frac{1}{3}; 0]$.

б) Рассмотрим систему неравенств: $$ \begin{cases} 2x^2 + 7x - 9 \ge 0 \\ 7 - 4x < 0 \end{cases} $$ Решим первое неравенство $2x^2 + 7x - 9 \ge 0$. Найдем корни уравнения $2x^2 + 7x - 9 = 0$.
Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 49 + 72 = 121$.
Корни уравнения: $$ x_1 = \frac{-7 - \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{-18}{4} = -\frac{9}{2} $$ $$ x_2 = \frac{-7 + \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1 $$ Ветви параболы $y = 2x^2 + 7x - 9$ направлены вверх ($a=2 > 0$), поэтому неравенство $2x^2 + 7x - 9 \ge 0$ выполняется, когда $x$ находится не между корнями (включая сами корни): $x \in (-\infty; -\frac{9}{2}] \cup [1; +\infty)$.

Решим второе, линейное неравенство $7 - 4x < 0$: $$ 7 - 4x < 0 \implies -4x < -7 \implies 4x > 7 \implies x > \frac{7}{4} $$ Решение второго неравенства: $x \in (\frac{7}{4}; +\infty)$.

Найдем пересечение решений: $((-\infty; -\frac{9}{2}] \cup [1; +\infty)) \cap (\frac{7}{4}; +\infty)$.
Поскольку $\frac{7}{4} = 1.75$, а $-\frac{9}{2} = -4.5$, пересечением является промежуток $(\frac{7}{4}; +\infty)$.

Для финального ответа выделим целую часть из неправильной дроби: $\frac{7}{4} = 1\frac{3}{4}$.

Ответ: $(1\frac{3}{4}; +\infty)$.