Номер 3.219, страница 209 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.219. Найдите все значения аргумента, при которых функция $y = x^2 + x - 6$ принимает неотрицательные значения, а функция $y = -x^2 + 4x$ — положительные значения.

Для решения задачи необходимо найти значения аргумента $x$, которые одновременно удовлетворяют двум условиям:

1. Функция $y = x^2 + x - 6$ принимает неотрицательные значения, то есть $y \ge 0$.
2. Функция $y = -x^2 + 4x - 2$ принимает положительные значения, то есть $y > 0$.

Это эквивалентно решению системы неравенств:

Решим первое неравенство $x^2 + x - 6 \ge 0$:

Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + x - 6 = 0$.

Вычислим дискриминант:

Найдем корни:

Квадратичная функция $y = x^2 + x - 6$ представляет собой параболу с ветвями, направленными вверх (так как коэффициент при $x^2$ положителен, $a=1>0$). Следовательно, функция принимает неотрицательные значения ($y \ge 0$) на промежутках левее меньшего корня и правее большего корня, включая сами корни.

Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, -3] \cup [2, +\infty)$.

Решим второе неравенство $-x^2 + 4x - 2 > 0$:

Для удобства умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

Найдем корни уравнения $x^2 - 4x + 2 = 0$.

Вычислим дискриминант:

Найдем корни:

Корни уравнения: $x_3 = 2 - \sqrt{2}$ и $x_4 = 2 + \sqrt{2}$.

Парабола $y = x^2 - 4x + 2$ имеет ветви, направленные вверх ($a=1>0$). Следовательно, функция принимает отрицательные значения ($y < 0$) на интервале между корнями.

Решение второго неравенства: $x \in (2 - \sqrt{2}, 2 + \sqrt{2})$.

Найдем пересечение полученных решений:

Нам нужно найти значения $x$, которые принадлежат обоим множествам:

Оценим значения корней: $\sqrt{2} \approx 1.41$.

Тогда $2 - \sqrt{2} \approx 2 - 1.41 = 0.59$ и $2 + \sqrt{2} \approx 2 + 1.41 = 3.41$.

Таким образом, интервал $(2 - \sqrt{2}, 2 + \sqrt{2})$ примерно соответствует $(0.59, 3.41)$.

Теперь найдем пересечение:

• Интервал $(-\infty, -3]$ не имеет общих точек с интервалом $(2 - \sqrt{2}, 2 + \sqrt{2})$.
• Интервал $[2, +\infty)$ пересекается с интервалом $(2 - \sqrt{2}, 2 + \sqrt{2})$.

Нижняя граница пересечения - это $\max(2, 2-\sqrt{2}) = 2$. Так как 2 входит в первый промежуток (квадратная скобка) и входит во второй, то в итоговом решении 2 также будет включено.

Верхняя граница пересечения - это $\min(+\infty, 2+\sqrt{2}) = 2+\sqrt{2}$. Так как $2+\sqrt{2}$ не входит во второй промежуток (круглая скобка), то в итоговом решении эта точка будет исключена.

Таким образом, пересечением является полуинтервал $[2, 2 + \sqrt{2})$.

Ответ: искомые значения аргумента принадлежат промежутку $[2, 2 + \sqrt{2})$.