Номер 3.226, страница 209 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.226. Найдите наибольшее целое решение системы неравенств$\begin{cases}2(1 - x) < 7x + 5, \\4 - x^2 \ge 0.\end{cases}$

Для того чтобы найти наибольшее целое решение системы неравенств, необходимо сначала решить каждое неравенство по отдельности, а затем найти пересечение их решений (общее решение системы). После этого из найденного промежутка выбрать наибольшее целое число.

Исходная система неравенств:

$\begin{cases} 2(1 - x) < 7x + 5 \\ 4 - x^2 \ge 0\end{cases}$

Шаг 1: Решение первого неравенства $2(1 - x) < 7x + 5$

Раскрываем скобки в левой части неравенства:

$2 - 2x < 7x + 5$

Переносим все члены с переменной $x$ в правую часть, а постоянные члены — в левую, чтобы сгруппировать их:

$2 - 5 < 7x + 2x$

Приводим подобные слагаемые:

$-3 < 9x$

Делим обе части неравенства на 9. Так как 9 — положительное число, знак неравенства сохраняется:

$-\frac{3}{9} < x$

Сокращаем дробь:

$x > -\frac{1}{3}$

Решение первого неравенства в виде интервала: $x \in (-\frac{1}{3}; +\infty)$.

Шаг 2: Решение второго неравенства $4 - x^2 \ge 0$

Это квадратичное неравенство. Для его решения найдем корни соответствующего уравнения $4 - x^2 = 0$.

$x^2 = 4$

$x = \pm 2$

Корни уравнения: $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$.

Графиком функции $y = 4 - x^2$ является парабола, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $x^2$ отрицательный). Следовательно, функция принимает неотрицательные значения ($y \ge 0$) на промежутке между корнями, включая сами корни.

Таким образом, решение второго неравенства: $-2 \le x \le 2$.

Решение второго неравенства в виде интервала: $x \in [-2; 2]$.

Шаг 3: Нахождение решения системы неравенств

Решение системы — это пересечение решений обоих неравенств. Найдем пересечение интервалов:

$(-\frac{1}{3}; +\infty) \cap [-2; 2]$

Общим решением для $x$ является промежуток, где $x$ одновременно больше $-\frac{1}{3}$ и находится в отрезке от -2 до 2. Это соответствует промежутку $(-\frac{1}{3}; 2]$.

Шаг 4: Определение наибольшего целого решения

Мы получили, что решение системы неравенств — это промежуток $x \in (-\frac{1}{3}; 2]$.

Теперь нужно найти наибольшее целое число в этом промежутке. Целые числа, которые удовлетворяют этому условию, это 0, 1 и 2.

Наибольшим из этих целых чисел является 2.

Ответ: 2