Номер 3.218, страница 208 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.218. Решите систему квадратных неравенств:

a)$$ \begin{cases} x^2 - 5x - 24 > 0, \\ x^2 - 5x - 36 \le 0; \end{cases} $$

б)$$ \begin{cases} x^2 - 5x - 6 \le 0, \\ x^2 - 3x - 10 > 0. \end{cases} $$

а) Решим систему неравенств: $$ \begin{cases} x^2 - 5x - 24 > 0, \\ x^2 - 5x - 36 \le 0; \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство: $x^2 - 5x - 24 > 0$.
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 5x - 24 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 25 + 96 = 121 = 11^2$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 11}{2} = -3$.
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 11}{2} = 8$.
Так как ветви параболы $y = x^2 - 5x - 24$ направлены вверх (коэффициент при $x^2$ положителен), неравенство $x^2 - 5x - 24 > 0$ выполняется при значениях $x$ вне интервала между корнями.
Решение первого неравенства: $x \in (-\infty; -3) \cup (8; +\infty)$.

2. Решим второе неравенство: $x^2 - 5x - 36 \le 0$.
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 5x - 36 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 25 + 144 = 169 = 13^2$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 13}{2} = -4$.
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 13}{2} = 9$.
Так как ветви параболы $y = x^2 - 5x - 36$ направлены вверх, неравенство $x^2 - 5x - 36 \le 0$ выполняется при значениях $x$ между корнями, включая сами корни.
Решение второго неравенства: $x \in [-4; 9]$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств. Нам нужно найти пересечение множеств $(-\infty; -3) \cup (8; +\infty)$ и $[-4; 9]$.
Изобразим решения на числовой оси. Пересечением будут промежутки, где оба решения верны.
Пересечение $[-4; 9]$ с $(-\infty; -3)$ дает промежуток $[-4; -3)$.
Пересечение $[-4; 9]$ с $(8; +\infty)$ дает промежуток $(8; 9]$.
Объединяя эти промежутки, получаем решение системы.
Ответ: $x \in [-4; -3) \cup (8; 9]$.

б) Решим систему неравенств: $$ \begin{cases} x^2 - 5x - 6 \le 0, \\ x^2 - 3x - 10 > 0. \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство: $x^2 - 5x - 6 \le 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 5x - 6 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней равна 5, а произведение равно -6. Корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = 6$.
Ветви параболы $y = x^2 - 5x - 6$ направлены вверх, поэтому неравенство $x^2 - 5x - 6 \le 0$ выполняется между корнями (включительно).
Решение первого неравенства: $x \in [-1; 6]$.

2. Решим второе неравенство: $x^2 - 3x - 10 > 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 3x - 10 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней равна 3, а произведение равно -10. Корни: $x_1 = -2$ и $x_2 = 5$.
Ветви параболы $y = x^2 - 3x - 10$ направлены вверх, поэтому неравенство $x^2 - 3x - 10 > 0$ выполняется вне интервала между корнями.
Решение второго неравенства: $x \in (-\infty; -2) \cup (5; +\infty)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств. Нам нужно найти пересечение множеств $[-1; 6]$ и $(-\infty; -2) \cup (5; +\infty)$.
Пересечение $[-1; 6]$ с $(-\infty; -2)$ пустое.
Пересечение $[-1; 6]$ с $(5; +\infty)$ дает промежуток $(5; 6]$.
Ответ: $x \in (5; 6]$.