Номер 3.217, страница 208 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.217. Решите совокупность неравенств:

а) $\begin{cases} x^2 - 7x - 8 \ge 0, \\ x < 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 2x^2 + 5x - 3 \le 0, \\ 3 - x > 0; \end{cases}$

в) $\begin{cases} x^2 - 12x \le 0, \\ 15 - 3x > 0; \end{cases}$

г) $\begin{cases} x^2 - 4 \ge 0, \\ 1 - 2x \le 0. \end{cases}$

а) Решим данную совокупность неравенств:$$ \begin{bmatrix} x^2 - 7x - 8 \ge 0, \\ x < 0. \end{bmatrix}$$

1. Сначала решим первое неравенство: $x^2 - 7x - 8 \ge 0$.
Для этого найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 7x - 8 = 0$.
Воспользуемся теоремой Виета:$$ \begin{cases} x_1 + x_2 = 7 \\ x_1 \cdot x_2 = -8 \end{cases}$$Корни уравнения: $x_1 = -1$ и $x_2 = 8$.
Графиком функции $y = x^2 - 7x - 8$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1>0$). Следовательно, неравенство $x^2 - 7x - 8 \ge 0$ выполняется при значениях $x$ левее меньшего корня и правее большего корня, включая сами корни.
Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, -1] \cup [8, \infty)$.

2. Второе неравенство: $x < 0$.
Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, 0)$.

3. Так как мы решаем совокупность, нам нужно найти объединение решений обоих неравенств:$$ (-\infty, -1] \cup [8, \infty) \cup (-\infty, 0) $$Объединяя эти множества, получаем: $x \in (-\infty, 0) \cup [8, \infty)$.

б) Решим данную совокупность неравенств:$$ \begin{bmatrix} 2x^2 + 5x - 3 \le 0, \\ 3 - x > 0. \end{bmatrix}$$

1. Сначала решим первое неравенство: $2x^2 + 5x - 3 \le 0$.
Найдем корни уравнения $2x^2 + 5x - 3 = 0$ через дискриминант.
$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 = 7^2$.
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-12}{4} = -3$.
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Ветви параболы $y = 2x^2 + 5x - 3$ направлены вверх ($a=2>0$), поэтому неравенство $2x^2 + 5x - 3 \le 0$ выполняется между корнями, включая их.
Решение первого неравенства: $x \in [-3, \frac{1}{2}]$.

2. Решим второе неравенство: $3 - x > 0$.
$-x > -3$.
$x < 3$.
Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, 3)$.

3. Найдем объединение решений:$$ [-3, \frac{1}{2}] \cup (-\infty, 3) $$Поскольку отрезок $[-3, \frac{1}{2}]$ полностью содержится в интервале $(-\infty, 3)$, их объединение равно большему множеству, то есть $(-\infty, 3)$.
Решение совокупности: $x \in (-\infty, 3)$.

в) Решим данную совокупность неравенств:$$ \begin{bmatrix} x^2 - 12x \le 0, \\ 15 - 3x > 0. \end{bmatrix}$$

1. Решим первое неравенство: $x^2 - 12x \le 0$.
Разложим левую часть на множители: $x(x - 12) \le 0$.
Корни соответствующего уравнения $x(x - 12) = 0$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = 12$.
Ветви параболы $y = x^2 - 12x$ направлены вверх ($a=1>0$), поэтому неравенство выполняется между корнями, включая их.
Решение первого неравенства: $x \in [0, 12]$.

2. Решим второе неравенство: $15 - 3x > 0$.
$15 > 3x$.
$5 > x$, или $x < 5$.
Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, 5)$.

3. Найдем объединение решений:$$ [0, 12] \cup (-\infty, 5) $$Объединяя отрезок $[0, 12]$ и интервал $(-\infty, 5)$, получаем один промежуток, который включает все числа от $-\infty$ до $12$ включительно.
Решение совокупности: $x \in (-\infty, 12]$.

г) Решим данную совокупность неравенств:$$ \begin{bmatrix} x^2 - 4 \ge 0, \\ 1 - 2x \le 0. \end{bmatrix}$$

1. Решим первое неравенство: $x^2 - 4 \ge 0$.
Разложим на множители: $(x - 2)(x + 2) \ge 0$.
Корни уравнения $(x - 2)(x + 2) = 0$ равны $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$.
Ветви параболы $y = x^2 - 4$ направлены вверх ($a=1>0$), поэтому неравенство выполняется вне интервала между корнями, включая сами корни.
Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty)$.

2. Решим второе неравенство: $1 - 2x \le 0$.
$1 \le 2x$.
$x \ge \frac{1}{2}$.
Решение второго неравенства: $x \in [\frac{1}{2}, \infty)$.

3. Найдем объединение решений:$$ ((-\infty, -2] \cup [2, \infty)) \cup [\frac{1}{2}, \infty) $$Объединим сначала $[\frac{1}{2}, \infty)$ и $[2, \infty)$. Так как $[2, \infty)$ является подмножеством $[\frac{1}{2}, \infty)$, их объединение равно $[\frac{1}{2}, \infty)$.
Теперь объединим $(-\infty, -2]$ и $[\frac{1}{2}, \infty)$. Эти множества не пересекаются.
Решение совокупности: $x \in (-\infty, -2] \cup [\frac{1}{2}, \infty)$.