Номер 3.210, страница 207 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.210. Найдите наибольшее целое решение системы неравенств

$ \begin{cases} -2x + 3 \ge 3(x + 2), \\ -x^2 - 4x > 0. \end{cases} $

Для того чтобы найти наибольшее целое решение системы неравенств, необходимо решить каждое неравенство по отдельности, а затем найти пересечение их решений.

1. Решение первого неравенства $ -2x + 3 \ge 3(x + 2) $

Сначала раскроем скобки в правой части неравенства: $ -2x + 3 \ge 3x + 6 $.
Далее перенесем все слагаемые, содержащие переменную $x$, в левую часть, а постоянные слагаемые — в правую: $ -2x - 3x \ge 6 - 3 $.
Приведем подобные слагаемые в обеих частях: $ -5x \ge 3 $.
Разделим обе части неравенства на $-5$. Так как мы делим на отрицательное число, знак неравенства необходимо изменить на противоположный: $ x \le -\frac{3}{5} $.
Таким образом, решением первого неравенства является промежуток $ x \in (-\infty; -\frac{3}{5}] $.

2. Решение второго неравенства $ -x^2 - 4x > 0 $

Для удобства умножим обе части неравенства на $-1$, что приведет к изменению знака неравенства на противоположный: $ x^2 + 4x < 0 $.
Теперь найдем корни соответствующего квадратного уравнения $ x^2 + 4x = 0 $. Для этого вынесем общий множитель $x$ за скобки: $ x(x + 4) = 0 $.
Корнями данного уравнения являются $ x_1 = 0 $ и $ x_2 = -4 $.
Графиком функции $ y = x^2 + 4x $ является парабола, ветви которой направлены вверх. Неравенство $ x^2 + 4x < 0 $ выполняется на интервале между корнями.
Следовательно, решением второго неравенства является интервал $ x \in (-4; 0) $.

3. Нахождение решения системы и итогового ответа

Решением системы является пересечение множеств решений первого и второго неравенств: $ x \in (-\infty; -\frac{3}{5}] \cap (-4; 0) $.
Это пересечение соответствует полуинтервалу $ x \in (-4; -\frac{3}{5}] $.
В задаче требуется найти наибольшее целое решение. Для этого определим, какие целые числа находятся в промежутке $ (-4; -\frac{3}{5}] $.
Поскольку $ -\frac{3}{5} = -0.6 $, наш промежуток можно записать как $ (-4; -0.6] $.
Целые числа, которые принадлежат этому промежутку: -3, -2, -1.
Наибольшим из этих целых чисел является -1.

Ответ: -1.