Номер 3.207, страница 207 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.207. Найдите область определения выражения:

a) $\sqrt{-x^2+3x+4} + \sqrt{2-x};$

б) $\sqrt{36-x^2} - \sqrt{2x-12}.$

а) Область определения выражения $\sqrt{-x^2 + 3x + 4} + \sqrt{2 - x}$ находится из системы неравенств, так как подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

Решим первое неравенство: $-x^2 + 3x + 4 \ge 0$.
Для начала найдем корни квадратного уравнения $-x^2 + 3x + 4 = 0$. Умножим уравнение на -1, чтобы упростить решение: $x^2 - 3x - 4 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 5}{2} = -1$ и $x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 5}{2} = 4$.
Графиком функции $y = -x^2 + 3x + 4$ является парабола, ветви которой направлены вниз (т.к. коэффициент при $x^2$ отрицателен). Следовательно, значения функции неотрицательны между корнями.
Решение первого неравенства: $x \in [-1, 4]$.

Решим второе неравенство: $2 - x \ge 0$.
Перенесем $x$ в правую часть: $2 \ge x$, или $x \le 2$.
Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, 2]$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств. Это и будет областью определения исходного выражения.
$[-1, 4] \cap (-\infty, 2] = [-1, 2]$.

Ответ: $[-1, 2]$.

б) Область определения выражения $\sqrt{36 - x^2} - \sqrt{2x - 12}$ находится из системы неравенств:

Решим первое неравенство: $36 - x^2 \ge 0$.
$x^2 \le 36$.
Это неравенство равносильно $|x| \le 6$, что означает $-6 \le x \le 6$.
Решение первого неравенства: $x \in [-6, 6]$.

Решим второе неравенство: $2x - 12 \ge 0$.
$2x \ge 12$.
$x \ge 6$.
Решение второго неравенства: $x \in [6, \infty)$.

Найдем пересечение решений обоих неравенств:
$[-6, 6] \cap [6, \infty)$.
Единственное число, которое принадлежит обоим промежуткам, — это 6.

Ответ: $\{6\}$.