Номер 3.209, страница 207 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.209. Найдите число целых решений системы неравенств:

a) $ \begin{cases} x^2 - 4x - 5 < 0, \\ \frac{x-1}{4} > 0; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} \frac{x-1}{4} + \frac{x+2}{6} < 1, \\ 9 - x^2 \ge 0. \end{cases} $

а) Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} x^2 - 4x - 5 < 0 \\ \frac{x-1}{4} > 0 \end{cases} $

1. Решим первое неравенство $x^2 - 4x - 5 < 0$.
Найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 4x - 5 = 0$. По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 5$ и $x_2 = -1$.
Так как график функции $y = x^2 - 4x - 5$ — это парабола с ветвями вверх, неравенство $x^2 - 4x - 5 < 0$ выполняется на интервале между корнями.
Решение первого неравенства: $x \in (-1, 5)$.

2. Решим второе неравенство $\frac{x-1}{4} > 0$.
Умножим обе части на 4 (знак неравенства не меняется):
$x - 1 > 0$
$x > 1$
Решение второго неравенства: $x \in (1, \infty)$.

3. Найдем пересечение полученных решений, которое является решением системы:
$x \in (-1, 5) \cap (1, \infty) = (1, 5)$.

4. Найдем целые числа, принадлежащие интервалу $(1, 5)$. Это числа: 2, 3, 4.
Таким образом, система имеет 3 целых решения.

Ответ: 3.

б) Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} \frac{x-1}{4} + \frac{x+2}{6} < 1 \\ 9 - x^2 \ge 0 \end{cases} $

1. Решим первое неравенство $\frac{x-1}{4} + \frac{x+2}{6} < 1$.
Приведем дроби к общему знаменателю 12 и умножим на него обе части неравенства:
$3(x-1) + 2(x+2) < 12$
$3x - 3 + 2x + 4 < 12$
$5x + 1 < 12$
$5x < 11$
$x < \frac{11}{5}$

2. Решим второе неравенство $9 - x^2 \ge 0$.
Разложим левую часть на множители: $(3-x)(3+x) \ge 0$.
Корни уравнения $9-x^2=0$: $x_1 = -3$ и $x_2 = 3$.
График функции $y = 9 - x^2$ — это парабола с ветвями вниз, поэтому неравенство $9 - x^2 \ge 0$ выполняется на отрезке между корнями.
Решение второго неравенства: $x \in [-3, 3]$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств:
$x \in [-3, 3] \cap (-\infty, \frac{11}{5})$
Решением системы является полуинтервал $[-3, \frac{11}{5})$.

4. Чтобы найти количество целых решений, выделим целую часть из неправильной дроби $\frac{11}{5}$:
$\frac{11}{5} = 2\frac{1}{5}$.
Следовательно, мы ищем целые числа $x$, удовлетворяющие условию $-3 \le x < 2\frac{1}{5}$.
Этому условию удовлетворяют следующие целые числа: -3, -2, -1, 0, 1, 2.
Общее количество целых решений равно 6.

Ответ: 6.