Номер 3.201, страница 206 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.201. Найдите все значения аргумента, при которых функция $y = x^2 + x$ принимает отрицательные значения, а функция $y = -x^2 + 2x + 3$ принимает неотрицательные значения.

Для нахождения всех значений аргумента $x$, удовлетворяющих условиям задачи, необходимо решить систему двух неравенств. Первое неравенство соответствует условию, что функция $y = x^2 + x$ принимает отрицательные значения. Второе — что функция $y = -x^2 + 2x + 3$ принимает неотрицательные значения.

Система неравенств выглядит следующим образом:

Решим каждое неравенство по отдельности.

1. Решение неравенства $x^2 + x < 0$

Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + x = 0$. Вынесем $x$ за скобки:

Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = -1$.

Графиком функции $y = x^2 + x$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, функция принимает отрицательные значения на интервале между корнями.

Таким образом, решение первого неравенства: $x \in (-1; 0)$.

2. Решение неравенства $-x^2 + 2x + 3 \ge 0$

Для удобства умножим обе части неравенства на $-1$, изменив знак неравенства на противоположный:

Теперь найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$. Воспользуемся теоремой Виета:

Корни уравнения: $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$.

Графиком функции $y = x^2 - 2x - 3$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, функция принимает неположительные значения (меньше или равно нулю) на отрезке между корнями, включая сами корни.

Таким образом, решение второго неравенства: $x \in [-1; 3]$.

3. Нахождение общего решения

Чтобы оба условия задачи выполнялись одновременно, необходимо найти пересечение полученных решений:

Пересечением интервала $(-1; 0)$ и отрезка $[-1; 3]$ является интервал $(-1; 0)$.

Ответ: $x \in (-1; 0)$.