Номер 3.200, страница 206 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.200. Решите систему квадратных неравенств:

а) $\begin{cases} x^2 - 5x + 6 \ge 0, \\ x^2 - 4x - 5 < 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 - x - 20 \le 0, \\ x^2 + 3x - 18 \ge 0; \end{cases}$

в) $\begin{cases} x^2 - x - 12 > 0, \\ x^2 + 4x - 5 \ge 0; \end{cases}$

г) $\begin{cases} x^2 + 7x - 8 \le 0, \\ x^2 + 8x + 12 < 0. \end{cases}$

a) Решим систему неравенств:

1. Решим первое неравенство $x^2 - 5x + 6 \ge 0$.

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а произведение равно 6. Корнями являются $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.

Так как коэффициент при $x^2$ положителен (равен 1), ветви параболы $y = x^2 - 5x + 6$ направлены вверх. Следовательно, неравенство $x^2 - 5x + 6 \ge 0$ выполняется, когда $x$ находится вне интервала между корнями (включая сами корни).

Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, 2] \cup [3, \infty)$.

2. Решим второе неравенство $x^2 - 4x - 5 < 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 4x - 5 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 4, а произведение равно -5. Корнями являются $x_1 = -1$ и $x_2 = 5$.

Ветви параболы $y = x^2 - 4x - 5$ также направлены вверх. Неравенство $x^2 - 4x - 5 < 0$ выполняется, когда $x$ находится строго между корнями.

Решение второго неравенства: $x \in (-1, 5)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств.

Нам нужно найти пересечение множеств $(-\infty, 2] \cup [3, \infty)$ и $(-1, 5)$.

На числовой оси это будет выглядеть как объединение интервалов $(-1, 2]$ и $[3, 5)$.

Ответ: $x \in (-1, 2] \cup [3, 5)$.

б) Решим систему неравенств:

1. Решим первое неравенство $x^2 - x - 20 \le 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - x - 20 = 0$. По теореме Виета, $x_1 + x_2 = 1$ и $x_1 \cdot x_2 = -20$. Корни: $x_1 = -4$, $x_2 = 5$.

Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями (включительно): $x \in [-4, 5]$.

2. Решим второе неравенство $x^2 + 3x - 18 \ge 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + 3x - 18 = 0$. По теореме Виета, $x_1 + x_2 = -3$ и $x_1 \cdot x_2 = -18$. Корни: $x_1 = -6$, $x_2 = 3$.

Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется вне интервала между корнями (включительно): $x \in (-\infty, -6] \cup [3, \infty)$.

3. Найдем пересечение решений: $[-4, 5] \cap ((-\infty, -6] \cup [3, \infty))$.

Пересечение интервала $[-4, 5]$ с $(-\infty, -6]$ пусто. Пересечение $[-4, 5]$ с $[3, \infty)$ равно $[3, 5]$.

Ответ: $x \in [3, 5]$.

в) Решим систему неравенств:

1. Решим первое неравенство $x^2 - x - 12 > 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - x - 12 = 0$. По теореме Виета, $x_1 + x_2 = 1$ и $x_1 \cdot x_2 = -12$. Корни: $x_1 = -3$, $x_2 = 4$.

Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется вне интервала между корнями (строго): $x \in (-\infty, -3) \cup (4, \infty)$.

2. Решим второе неравенство $x^2 + 4x - 5 \ge 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + 4x - 5 = 0$. По теореме Виета, $x_1 + x_2 = -4$ и $x_1 \cdot x_2 = -5$. Корни: $x_1 = -5$, $x_2 = 1$.

Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется вне интервала между корнями (включительно): $x \in (-\infty, -5] \cup [1, \infty)$.

3. Найдем пересечение решений: $((-\infty, -3) \cup (4, \infty)) \cap ((-\infty, -5] \cup [1, \infty))$.

Пересечение $(-\infty, -3)$ с $(-\infty, -5]$ дает $(-\infty, -5]$. Пересечение $(4, \infty)$ с $[1, \infty)$ дает $(4, \infty)$. Объединяя эти результаты, получаем решение системы.

Ответ: $x \in (-\infty, -5] \cup (4, \infty)$.

г) Решим систему неравенств:

1. Решим первое неравенство $x^2 + 7x - 8 \le 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + 7x - 8 = 0$. По теореме Виета, $x_1 + x_2 = -7$ и $x_1 \cdot x_2 = -8$. Корни: $x_1 = -8$, $x_2 = 1$.

Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями (включительно): $x \in [-8, 1]$.

2. Решим второе неравенство $x^2 + 8x + 12 < 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + 8x + 12 = 0$. По теореме Виета, $x_1 + x_2 = -8$ и $x_1 \cdot x_2 = 12$. Корни: $x_1 = -6$, $x_2 = -2$.

Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется строго между корнями: $x \in (-6, -2)$.

3. Найдем пересечение решений: $[-8, 1] \cap (-6, -2)$.

Так как интервал $(-6, -2)$ полностью содержится в отрезке $[-8, 1]$, их пересечением будет сам интервал $(-6, -2)$.

Ответ: $x \in (-6, -2)$.