Номер 3.192, страница 202 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.192. Вычислите:

а) $ \frac{81^{-2} \cdot 3^5}{9^{-2}} $;

б) $ \frac{0,125^3 \cdot 32^2}{0,5^{-2}} $.

Для решения данной задачи воспользуемся свойствами степеней:

• При возведении степени в степень, показатели перемножаются: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$
• При умножении степеней с одинаковым основанием, показатели складываются: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$
• При делении степеней с одинаковым основанием, из показателя делимого вычитается показатель делителя: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
• Степень с отрицательным показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$

а) $\frac{81^{-2} \cdot 3^5}{9^{-2}}$

Представим числа 81 и 9 как степени числа 3, так как это общее основание:

$81 = 3^4$

$9 = 3^2$

Подставим эти значения в исходное выражение:

$\frac{(3^4)^{-2} \cdot 3^5}{(3^2)^{-2}}$

Используя свойство возведения степени в степень, перемножим показатели:

$\frac{3^{4 \cdot (-2)} \cdot 3^5}{3^{2 \cdot (-2)}} = \frac{3^{-8} \cdot 3^5}{3^{-4}}$

В числителе применим свойство умножения степеней с одинаковым основанием, сложив их показатели:

$\frac{3^{-8+5}}{3^{-4}} = \frac{3^{-3}}{3^{-4}}$

Применим свойство деления степеней с одинаковым основанием, вычитая показатель знаменателя из показателя числителя:

$3^{-3 - (-4)} = 3^{-3+4} = 3^1 = 3$

Ответ: 3

б) $\frac{0,125^3 \cdot 32^2}{0,5^{-2}}$

Представим десятичные дроби в виде обыкновенных, а затем все числа в виде степеней с основанием 2:

$0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3}$

$32 = 2^5$

$0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$

Подставим эти значения в исходное выражение:

$\frac{(2^{-3})^3 \cdot (2^5)^2}{(2^{-1})^{-2}}$

Используя свойство возведения степени в степень, перемножим показатели:

$\frac{2^{-3 \cdot 3} \cdot 2^{5 \cdot 2}}{2^{-1 \cdot (-2)}} = \frac{2^{-9} \cdot 2^{10}}{2^2}$

В числителе применим свойство умножения степеней с одинаковым основанием, сложив их показатели:

$\frac{2^{-9+10}}{2^2} = \frac{2^1}{2^2}$

Применим свойство деления степеней с одинаковым основанием, вычитая показатель знаменателя из показателя числителя:

$2^{1-2} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$