Номер 3.188, страница 201 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.188. Найдите значения аргумента, при которых значения функции $y = x^2 + 2x$ не превосходят значений функции $y = \frac{7x+3}{4}$.

Для нахождения значений аргумента, при которых значения функции $y = x^2 + 2x$ не превосходят значений функции $y = \frac{7x+3}{4}$, необходимо решить следующее неравенство:

$x^2 + 2x \le \frac{7x+3}{4}$

Умножим обе части неравенства на 4, чтобы избавиться от дроби в правой части. Так как 4 является положительным числом, знак неравенства сохраняется.

$4(x^2 + 2x) \le 7x+3$

Раскроем скобки и перенесем все члены в левую часть неравенства, чтобы получить стандартное квадратное неравенство:

$4x^2 + 8x \le 7x + 3$

$4x^2 + 8x - 7x - 3 \le 0$

$4x^2 + x - 3 \le 0$

Теперь найдем корни соответствующего квадратного уравнения $4x^2 + x - 3 = 0$. Для этого воспользуемся формулой корней квадратного уравнения через дискриминант.

Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$, где $a=4$, $b=1$, $c=-3$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 1 + 48 = 49$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{-1 - 7}{8} = \frac{-8}{8} = -1$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{-1 + 7}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

Мы решаем неравенство $4x^2 + x - 3 \le 0$. Графиком функции $y = 4x^2 + x - 3$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=4 > 0$). Значения этой функции будут меньше или равны нулю на промежутке между корнями, включая сами корни.

Следовательно, решение неравенства есть промежуток $x \in [-1; \frac{3}{4}]$.

Ответ: значения аргумента принадлежат промежутку $x \in [-1; \frac{3}{4}]$.