Номер 3.181, страница 201 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.181. Накануне проведения церемонии награждения победителей ежегодного республиканского фестиваля-ярмарки тружеников села «Дожинки» в зале для проведения торжеств расставляют стулья. Число стульев в каждом ряду должно быть на 15 больше, чем число рядов в зале. Найдите максимальное число рядов стульев, которые можно установить, если в зале одновременно можно разместить не более 250 человек.

Обозначим искомое максимальное число рядов стульев через $x$. По смыслу задачи, $x$ должно быть натуральным числом ($x \in \mathbb{N}$).

Согласно условию, число стульев в каждом ряду на 15 больше, чем число рядов. Значит, в каждом ряду находится $(x + 15)$ стульев.

Общее количество стульев в зале определяется как произведение числа рядов на количество стульев в одном ряду. Это общее количество не должно превышать 250, так как в зале можно разместить не более 250 человек. На основе этого составим неравенство:

$x(x + 15) \le 250$

Для решения неравенства раскроем скобки и перенесем все его члены в левую часть:

$x^2 + 15x - 250 \le 0$

Теперь решим соответствующее квадратное уравнение $x^2 + 15x - 250 = 0$, чтобы найти его корни. Воспользуемся формулой для нахождения корней через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 15^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-250) = 225 + 1000 = 1225$

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{1225} = 35$.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-15 + 35}{2 \cdot 1} = \frac{20}{2} = 10$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-15 - 35}{2 \cdot 1} = \frac{-50}{2} = -25$

Графиком функции $y = x^2 + 15x - 250$ является парабола, ветви которой направлены вверх ($a=1 > 0$). Следовательно, неравенство $x^2 + 15x - 250 \le 0$ выполняется для всех $x$, находящихся между корнями, включая сами корни:

$-25 \le x \le 10$

Так как $x$ представляет собой число рядов, оно должно быть положительным целым числом ($x \in \mathbb{N}$). Объединяя это условие с полученным решением, получаем итоговый диапазон для $x$:

$0 < x \le 10$

Нам необходимо найти максимальное число рядов, то есть максимальное целое значение $x$ из этого диапазона, которое равно 10.

Проверка: если число рядов равно 10, то число стульев в ряду будет $10 + 15 = 25$. Общее число мест: $10 \cdot 25 = 250$, что соответствует условию (не более 250). Если взять 11 рядов, то общее число мест будет $11 \cdot (11+15) = 11 \cdot 26 = 286$, что превышает 250.

Ответ: 10