Номер 3.175, страница 200 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.175. Решите неравенство:

а) $-9x^2 \ge -8x - 1;$

б) $x^2 < 36;$

в) $x^2 \le 3x;$

г) $x^2 + 9 > 6x;$

д) $3x + 7 < -2x^2;$

е) $3x^2 \le 15;$

ж) $5x^2 + 1 \ge 2x;$

з) $7x \le x^2.$

а) Решение неравенства $-9x^2 \ge -8x - 1$:

Перенесем все члены в правую часть, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным. Это равносильно переносу всех членов в левую часть и умножению неравенства на -1 с изменением знака неравенства на противоположный.

$9x^2 - 8x - 1 \le 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $9x^2 - 8x - 1 = 0$ с помощью дискриминанта.

$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-1) = 64 + 36 = 100 = 10^2$

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - 10}{2 \cdot 9} = \frac{-2}{18} = -\frac{1}{9}$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + 10}{2 \cdot 9} = \frac{18}{18} = 1$

Графиком функции $y = 9x^2 - 8x - 1$ является парабола с ветвями, направленными вверх (так как $a=9>0$). Значения функции не положительны ($y \le 0$) на промежутке между корнями, включая сами корни.

Ответ: $x \in [-\frac{1}{9}, 1]$.

б) Решение неравенства $x^2 < 36$:

Перенесем 36 в левую часть:

$x^2 - 36 < 0$

Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов:

$(x - 6)(x + 6) < 0$

Корни уравнения $(x - 6)(x + 6) = 0$ это $x_1 = -6$ и $x_2 = 6$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется между корнями.

Ответ: $x \in (-6, 6)$.

в) Решение неравенства $x^2 \le 3x$:

Перенесем $3x$ в левую часть:

$x^2 - 3x \le 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x - 3) \le 0$

Корни уравнения $x(x - 3) = 0$ это $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$. Это парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется на отрезке между корнями.

Ответ: $x \in [0, 3]$.

г) Решение неравенства $x^2 + 9 > 6x$:

Перенесем $6x$ в левую часть:

$x^2 - 6x + 9 > 0$

Свернем левую часть по формуле полного квадрата:

$(x - 3)^2 > 0$

Квадрат любого действительного числа, отличного от нуля, всегда положителен. Выражение $(x-3)^2$ равно нулю при $x=3$ и положительно при всех остальных значениях $x$.

Ответ: $x \in (-\infty, 3) \cup (3, +\infty)$.

д) Решение неравенства $3x + 7 < -2x^2$:

Перенесем все члены в левую часть:

$2x^2 + 3x + 7 < 0$

Найдем дискриминант квадратного трехчлена $2x^2 + 3x + 7$:

$D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 7 = 9 - 56 = -47$

Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$) и старший коэффициент положительный ($a=2>0$), то парабола $y = 2x^2 + 3x + 7$ полностью лежит выше оси абсцисс, то есть $2x^2 + 3x + 7 > 0$ для любых $x$. Следовательно, неравенство $2x^2 + 3x + 7 < 0$ не имеет решений.

Ответ: $x \in \emptyset$ (решений нет).

е) Решение неравенства $3x^2 \le 15$:

Разделим обе части на 3:

$x^2 \le 5$

Это неравенство равносильно двойному неравенству $-\sqrt{5} \le x \le \sqrt{5}$.

Ответ: $x \in [-\sqrt{5}, \sqrt{5}]$.

ж) Решение неравенства $5x^2 + 1 \ge 2x$:

Перенесем все члены в левую часть:

$5x^2 - 2x + 1 \ge 0$

Найдем дискриминант квадратного трехчлена $5x^2 - 2x + 1$:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 4 - 20 = -16$

Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$) и старший коэффициент положительный ($a=5>0$), то парабола $y = 5x^2 - 2x + 1$ полностью лежит выше оси абсцисс, то есть $5x^2 - 2x + 1 > 0$ для любых $x$. Значит, неравенство $5x^2 - 2x + 1 \ge 0$ выполняется для всех действительных чисел.

Ответ: $x \in (-\infty, +\infty)$.

з) Решение неравенства $7x \le x^2$:

Перенесем $7x$ в правую часть:

$0 \le x^2 - 7x$, что эквивалентно $x^2 - 7x \ge 0$.

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x - 7) \ge 0$

Корни уравнения $x(x - 7) = 0$ это $x_1 = 0$ и $x_2 = 7$. Это парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется на промежутках вне отрезка между корнями, включая сами корни.

Ответ: $x \in (-\infty, 0] \cup [7, +\infty)$.