Номер 3.174, страница 200 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.174. Найдите все значения аргумента, при которых функция:

a) $y = 4 + x^2 - 5x$ принимает положительные значения;

б) $y = 36 - 4x^2$ принимает неотрицательные значения.

а) Чтобы найти все значения аргумента, при которых функция $y = 4 + x^2 - 5x$ принимает положительные значения, необходимо решить неравенство $y > 0$.

Составим и решим соответствующее неравенство:

$4 + x^2 - 5x > 0$

Приведем его к стандартному виду:

$x^2 - 5x + 4 > 0$

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 5x + 4 = 0$.

Используем теорему Виета:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = 5$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 4$

Отсюда находим корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 4$.

Графиком функции $f(x) = x^2 - 5x + 4$ является парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше нуля). Парабола пересекает ось абсцисс (ось Ox) в точках $x = 1$ и $x = 4$.

Неравенство $x^2 - 5x + 4 > 0$ выполняется на тех промежутках, где график параболы расположен выше оси Ox. Это происходит левее меньшего корня и правее большего корня.

Таким образом, решение неравенства: $x < 1$ или $x > 4$.

В виде интервалов это записывается как $(-\infty; 1) \cup (4; \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (4; \infty)$.

б) Чтобы найти все значения аргумента, при которых функция $y = 36 - 4x^2$ принимает неотрицательные значения, необходимо решить неравенство $y \ge 0$.

Составим и решим соответствующее неравенство:

$36 - 4x^2 \ge 0$

Для удобства разделим обе части неравенства на 4 (так как 4 > 0, знак неравенства не меняется):

$9 - x^2 \ge 0$

Разложим левую часть по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(3 - x)(3 + x) \ge 0$

Найдем корни уравнения $(3 - x)(3 + x) = 0$. Корнями являются $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.

Графиком функции $f(x) = 9 - x^2$ является парабола, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $x^2$ равен -1, что меньше нуля). Парабола пересекает ось Ox в точках $x = -3$ и $x = 3$.

Неравенство $9 - x^2 \ge 0$ выполняется на том промежутке, где график параболы расположен выше или на оси Ox. Это происходит между корнями, включая сами корни.

Таким образом, решение неравенства: $-3 \le x \le 3$.

В виде интервала это записывается как $[-3; 3]$.

Ответ: $x \in [-3; 3]$.