Номер 3.168, страница 199 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.168. Найдите значения $k$, при которых уравнение $x^2 + kx + 9 = 0$ имеет два корня.

Данное уравнение $x^2 + kx + 9 = 0$ является квадратным. Квадратное уравнение имеет два различных корня тогда и только тогда, когда его дискриминант ($D$) строго больше нуля.

Дискриминант для квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ вычисляется по формуле:

$D = b^2 - 4ac$

В нашем случае коэффициенты уравнения равны:

• $a = 1$
• $b = k$
• $c = 9$

Найдем дискриминант для данного уравнения, подставив в формулу значения коэффициентов:

$D = k^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = k^2 - 36$

Условие наличия двух корней — это $D > 0$. Составим и решим соответствующее неравенство:

$k^2 - 36 > 0$

Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов:

$(k - 6)(k + 6) > 0$

Это неравенство выполняется, когда оба множителя имеют одинаковый знак.

1. Оба множителя положительны:
   $\begin{cases} k - 6 > 0 \\ k + 6 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} k > 6 \\ k > -6 \end{cases} \Rightarrow k > 6$
2. Оба множителя отрицательны:
   $\begin{cases} k - 6 < 0 \\ k + 6 < 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} k < 6 \\ k < -6 \end{cases} \Rightarrow k < -6$

Объединив полученные решения, мы находим, что неравенство выполняется при $k < -6$ или $k > 6$.

Таким образом, уравнение имеет два корня при значениях $k$, принадлежащих объединению интервалов $(-\infty; -6)$ и $(6; \infty)$. Ответ: $k \in (-\infty; -6) \cup (6; \infty)$.