Номер 3.161, страница 198 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.161. Траектория ядра, которое толкнул спортсмен под углом к горизонту при сдаче юниорского норматива, есть парабола (рис. 85), уравнение которой $y = -x^2 + 3x + 1.2$, где $x$ — это время движения ядра (в секундах), а $y$ — высота его подъема (в метрах) относительно земли.

Определите:

a) сдал ли он норматив, который составляет 7 м;

б) сколько времени ядро находилось на высоте, меньшей, чем в положении 2, но большей, чем в положении 1.

Знаете ли вы, что победителем II Игр стран СНГ в толкании ядра стал Анатолий Хомич?

Используя различные источники информации, найдите сведения о белорусских олимпийских чемпионах.

а) сдал ли он норматив, который составляет 7 м;
Для ответа на этот вопрос необходимо найти максимальную высоту, на которую поднялось ядро. Траектория движения ядра описывается уравнением параболы $y = -x^2 + 3x + 1.2$. Так как коэффициент при $x^2$ отрицательный (равен -1), ветви параболы направлены вниз, и ее вершина является точкой максимальной высоты.

Координата $x$ вершины параболы $y = ax^2 + bx + c$ находится по формуле $x_v = \frac{-b}{2a}$. В нашем случае $a = -1$, $b = 3$.

Время достижения максимальной высоты: $x_v = \frac{-3}{2 \cdot (-1)} = \frac{-3}{-2} = 1.5$ с.

Теперь найдем максимальную высоту $y_v$, подставив значение $x_v$ в уравнение траектории: $y_v = -(1.5)^2 + 3 \cdot 1.5 + 1.2 = -2.25 + 4.5 + 1.2 = 3.45$ м.

Максимальная высота подъема ядра составила 3.45 м. Норматив равен 7 м. Сравниваем полученный результат с нормативом: $3.45 \text{ м} < 7 \text{ м}$. Следовательно, спортсмен не сдал норматив.

Ответ: нет.

б) сколько времени ядро находилось на высоте, меньшей, чем в положении 2, но большей, чем в положении 1.
Сначала определим высоты в положениях 1 и 2.

• Положение 1 соответствует начальному моменту времени $x=0$. Высота в этой точке: $y_1 = y(0) = -0^2 + 3 \cdot 0 + 1.2 = 1.2$ м.
• Положение 2 — это точка максимальной высоты, которую мы нашли в пункте а). Высота в этой точке: $y_2 = 3.45$ м.

Нам нужно найти общую продолжительность времени, в течение которого высота ядра $y$ была больше 1.2 м и меньше 3.45 м. Это можно записать в виде двойного неравенства: $1.2 < y(x) < 3.45$ $1.2 < -x^2 + 3x + 1.2 < 3.45$

Это неравенство эквивалентно системе из двух неравенств: 1) $-x^2 + 3x + 1.2 > 1.2$ 2) $-x^2 + 3x + 1.2 < 3.45$

Решим первое неравенство: $-x^2 + 3x > 0$ $x^2 - 3x < 0$ $x(x - 3) < 0$ Решением этого неравенства является интервал $x \in (0, 3)$.

Решим второе неравенство: $-x^2 + 3x - 2.25 < 0$ $x^2 - 3x + 2.25 > 0$ Узнаем выражение в левой части — это полный квадрат: $(x - 1.5)^2 > 0$. Это неравенство справедливо для всех действительных чисел $x$, кроме $x = 1.5$.

Итак, ядро находилось на искомой высоте, когда выполнялись оба условия: $x \in (0, 3)$ и $x \neq 1.5$. Это соответствует объединению интервалов $(0, 1.5) \cup (1.5, 3)$. Общая длительность этого периода времени равна сумме длин интервалов: $(1.5 - 0) + (3 - 1.5) = 1.5 + 1.5 = 3$ с.

Ответ: 3 с.

Сведения о белорусских олимпийских чемпионах:

• Дарья Домрачева (биатлон) — четырёхкратная олимпийская чемпионка (три золота в Сочи-2014, одно — в Пхёнчхане-2018), Герой Беларуси.
• Юлия Нестеренко (лёгкая атлетика) — олимпийская чемпионка Афин-2004 в беге на 100 метров, получившая прозвище «Белая молния».
• Владислав Гончаров (прыжки на батуте) — олимпийский чемпион Рио-де-Жанейро-2016.
• Андрей Арямнов (тяжёлая атлетика) — олимпийский чемпион Пекина-2008 в весовой категории до 105 кг, установивший три мировых рекорда.
• Екатерина Карстен (академическая гребля) — двукратная олимпийская чемпионка (Атланта-1996 и Сидней-2000) в одиночных соревнованиях.