Номер 3.154, страница 197 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.154. Решите неравенство:

a) $2x^2 + 6x - 1 > x^2 - 2x - 16;$

б) $5x^2 - 12x \le x^2 + 8x - 25;$

в) $12x^2 + 15 \ge 11x^2 + 7x - 6;$

г) $2x^2 + 4x - 2 > 5x^2 - 9x + 8.$

а) Исходное неравенство: $2x^2 + 6x - 1 > x^2 - 2x - 16$.

Перенесем все члены неравенства в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$(2x^2 - x^2) + (6x + 2x) + (-1 + 16) > 0$

$x^2 + 8x + 15 > 0$

Рассмотрим соответствующую квадратичную функцию $y = x^2 + 8x + 15$. Это парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше 0). Найдем нули функции, решив уравнение $x^2 + 8x + 15 = 0$.

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 64 - 60 = 4$

Корни уравнения:

$x_{1} = \frac{-8 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 - 2}{2} = -5$

$x_{2} = \frac{-8 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 + 2}{2} = -3$

Парабола пересекает ось Ox в точках -5 и -3. Так как ветви параболы направлены вверх, функция принимает положительные значения вне интервала между корнями.

Следовательно, решение неравенства: $x \in (-\infty; -5) \cup (-3; \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup (-3; \infty)$

б) Исходное неравенство: $5x^2 - 12x \le x^2 + 8x - 25$.

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$(5x^2 - x^2) + (-12x - 8x) + 25 \le 0$

$4x^2 - 20x + 25 \le 0$

Левая часть неравенства представляет собой полный квадрат:

$4x^2 - 20x + 25 = (2x)^2 - 2 \cdot (2x) \cdot 5 + 5^2 = (2x - 5)^2$.

Неравенство принимает вид:

$(2x - 5)^2 \le 0$

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(2x - 5)^2 \ge 0$. Таким образом, неравенство может выполняться только в одном случае: когда выражение равно нулю.

$(2x - 5)^2 = 0 \implies 2x - 5 = 0 \implies x = \frac{5}{2}$.

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $\frac{5}{2} = 2\frac{1}{2}$.

Ответ: $x = \mathbf{2}\frac{1}{2}$

в) Исходное неравенство: $12x^2 + 15 \ge 11x^2 + 7x - 6$.

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$(12x^2 - 11x^2) - 7x + (15 + 6) \ge 0$

$x^2 - 7x + 21 \ge 0$

Рассмотрим соответствующую квадратичную функцию $y = x^2 - 7x + 21$. Это парабола с ветвями вверх. Найдем дискриминант уравнения $x^2 - 7x + 21 = 0$:

$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 21 = 49 - 84 = -35$.

Поскольку $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Это значит, что парабола не пересекает ось Ox. Так как ветви параболы направлены вверх, вся парабола находится выше оси Ox, и, следовательно, выражение $x^2 - 7x + 21$ всегда положительно.

Таким образом, неравенство $x^2 - 7x + 21 \ge 0$ выполняется для любого действительного числа $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$

г) Исходное неравенство: $2x^2 + 4x - 2 > 5x^2 - 9x + 8$.

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$(2x^2 - 5x^2) + (4x + 9x) + (-2 - 8) > 0$

$-3x^2 + 13x - 10 > 0$

Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$3x^2 - 13x + 10 < 0$

Рассмотрим функцию $y = 3x^2 - 13x + 10$. Это парабола с ветвями вверх ($a=3>0$). Найдем ее нули, решив уравнение $3x^2 - 13x + 10 = 0$.

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 10 = 169 - 120 = 49$.

Найдем корни:

$x_{1} = \frac{13 - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{13 - 7}{6} = \frac{6}{6} = 1$.

$x_{2} = \frac{13 + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{13 + 7}{6} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}$.

Так как ветви параболы направлены вверх, функция принимает отрицательные значения на интервале между корнями: $1 < x < \frac{10}{3}$.

Преобразуем неправильную дробь $\frac{10}{3}$ в смешанное число: $\frac{10}{3} = 3\frac{1}{3}$.

Ответ: $x \in (1; \mathbf{3}\frac{1}{3})$