Номер 3.153, страница 197 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.153. Приведите два примера квадратных неравенств, не имеющих решений.

Квадратное неравенство не имеет решений в том случае, когда множество значений соответствующей квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ ни при каком $x$ не удовлетворяет знаку неравенства. Это зависит от знака старшего коэффициента $a$ (который определяет направление ветвей параболы) и дискриминанта $D = b^2 - 4ac$ (который определяет наличие у параболы точек пересечения с осью Ox).

Неравенство не будет иметь решений, если:

• Для неравенств вида $ax^2+bx+c < 0$ или $ax^2+bx+c \le 0$ парабола полностью лежит выше оси Ox. Это происходит, когда $a>0$ и $D<0$. (В случае $ax^2+bx+c < 0$ также подходит $D=0$).
• Для неравенств вида $ax^2+bx+c > 0$ или $ax^2+bx+c \ge 0$ парабола полностью лежит ниже оси Ox. Это происходит, когда $a<0$ и $D<0$. (В случае $ax^2+bx+c > 0$ также подходит $D=0$).

Приведем два примера, по одному для каждого случая.

Рассмотрим неравенство $x^2 + 9 < 0$.

Это квадратное неравенство, где $a=1$, $b=0$, $c=9$.

Соответствующая квадратичная функция $y = x^2 + 9$. Коэффициент при $x^2$ равен $a = 1$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

Найдем дискриминант квадратного трехчлена:
$D = b^2 - 4ac = 0^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = -36$.
Так как $D < 0$, у параболы нет точек пересечения с осью Ox.

Поскольку ветви параболы направлены вверх и она не пересекает ось Ox, вся парабола находится в верхней полуплоскости. Это означает, что выражение $x^2 + 9$ принимает только положительные значения при любом действительном $x$. Наименьшее значение функции равно $9$ при $x=0$.
Неравенство $x^2 + 9 < 0$ требует, чтобы выражение было отрицательным, что, как мы выяснили, невозможно. Следовательно, у неравенства нет решений.

Рассмотрим неравенство $-2x^2 + 4x - 3 > 0$.

Это квадратное неравенство, где $a=-2$, $b=4$, $c=-3$.

Соответствующая квадратичная функция $y = -2x^2 + 4x - 3$. Коэффициент при $x^2$ равен $a = -2$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.

Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot (-2) \cdot (-3) = 16 - 24 = -8$.
Так как $D < 0$, у параболы нет точек пересечения с осью Ox.

Поскольку ветви параболы направлены вниз и она не пересекает ось Ox, вся парабола находится в нижней полуплоскости. Это означает, что выражение $-2x^2 + 4x - 3$ принимает только отрицательные значения при любом действительном $x$.
Неравенство $-2x^2 + 4x - 3 > 0$ требует, чтобы выражение было положительным, что невозможно. Следовательно, у неравенства нет решений.