Номер 3.147, страница 196 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.147. Найдите все значения аргумента, при которых функция:

a) $y = -3x^2 + 7x - 4$ принимает отрицательные значения;

б) $y = 5x - x^2 - 4$ принимает неотрицательные значения;

в) $y = 9x - 2x^2$ принимает положительные значения.

Для решения задачи необходимо для каждой функции составить соответствующее неравенство и решить его.

а) Функция $y = -3x^2 + 7x - 4$ принимает отрицательные значения, когда $y < 0$. Составим и решим неравенство:

$-3x^2 + 7x - 4 < 0$

Чтобы упростить решение, умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$3x^2 - 7x + 4 > 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $3x^2 - 7x + 4 = 0$ с помощью дискриминанта.

$a=3, b=-7, c=4$

$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 49 - 48 = 1$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных корня:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$

Графиком функции $y = 3x^2 - 7x + 4$ является парабола, ветви которой направлены вверх ($a=3 > 0$). Следовательно, значения функции положительны при $x$, находящихся вне интервала между корнями.

Решением неравенства является объединение интервалов: $x \in (-\infty; 1) \cup (\frac{4}{3}; +\infty)$.

Представим неправильную дробь $\frac{4}{3}$ в виде смешанного числа: $1\frac{1}{3}$.

Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup ($1$\frac{1}{3}; +\infty)$.

б) Функция $y = 5x - x^2 - 4$ принимает неотрицательные значения, когда $y \ge 0$. Составим и решим неравенство:

$5x - x^2 - 4 \ge 0$

Перепишем в стандартном виде и умножим на -1, изменив знак неравенства:

$-x^2 + 5x - 4 \ge 0$

$x^2 - 5x + 4 \le 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 5x + 4 = 0$. По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = 5$

$x_1 \cdot x_2 = 4$

Отсюда корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$.

Графиком функции $y = x^2 - 5x + 4$ является парабола, ветви которой направлены вверх ($a=1 > 0$). Значения функции неположительны ($ \le 0$) на отрезке между корнями, включая сами корни.

Решением неравенства является отрезок: $x \in [1; 4]$.

Ответ: $x \in [1; 4]$.

в) Функция $y = 9x - 2x^2$ принимает положительные значения, когда $y > 0$. Составим и решим неравенство:

$9x - 2x^2 > 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(9 - 2x) > 0$

Найдем корни соответствующего уравнения $x(9 - 2x) = 0$.

$x_1 = 0$

$9 - 2x = 0 \Rightarrow 2x = 9 \Rightarrow x_2 = \frac{9}{2}$

Графиком функции $y = 9x - 2x^2$ является парабола, ветви которой направлены вниз ($a=-2 < 0$). Следовательно, функция принимает положительные значения на интервале между корнями.

Решением неравенства является интервал: $x \in (0; \frac{9}{2})$.

Представим неправильную дробь $\frac{9}{2}$ в виде смешанного числа: $4\frac{1}{2}$.

Ответ: $x \in (0; $ 4$\frac{1}{2})$.