Номер 3.144, страница 196 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.144. Найдите все значения переменной, при которых

двучлен:

а) $ -x^2 + 16 $ принимает неположительные значения;

б) $ -5x^2 - 8 $ принимает отрицательные значения.

a) Чтобы найти значения переменной, при которых двучлен $-x^2 + 16$ принимает неположительные значения, необходимо решить неравенство. Неположительные значения — это значения, которые меньше или равны нулю.

Составим и решим неравенство:

$-x^2 + 16 \le 0$

Перенесем 16 в правую часть:

$-x^2 \le -16$

Умножим обе части неравенства на -1, изменив при этом знак неравенства на противоположный:

$x^2 \ge 16$

Это неравенство выполняется, когда модуль $x$ больше или равен 4, то есть $|x| \ge 4$.

Это соответствует двум промежуткам: $x \le -4$ и $x \ge 4$.

Таким образом, решением является объединение этих промежутков.

Ответ: $x \in (-\infty; -4] \cup [4; \infty)$.

б) Чтобы найти значения переменной, при которых двучлен $-5x^2 - 8$ принимает отрицательные значения, необходимо решить неравенство. Отрицательные значения — это значения, которые строго меньше нуля.

Составим и решим неравенство:

$-5x^2 - 8 < 0$

Перенесем -8 в правую часть:

$-5x^2 < 8$

Разделим обе части на -5, изменив знак неравенства на противоположный:

$x^2 > -\frac{8}{5}$

Рассмотрим полученное неравенство. Выражение $x^2$ (квадрат любого действительного числа) всегда неотрицательно, то есть $x^2 \ge 0$ для любого $x$. Правая часть неравенства, $-\frac{8}{5}$, является отрицательным числом.

Любое неотрицательное число всегда больше любого отрицательного числа. Следовательно, неравенство $x^2 > -\frac{8}{5}$ справедливо для всех действительных значений $x$.

Ответ: $x$ — любое действительное число, или $x \in (-\infty; \infty)$.