Номер 3.142, страница 196 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.142. Приведите пример квадратного неравенства, решением которого являются все числа.

Чтобы найти квадратное неравенство, решением которого являются все числа, нужно рассмотреть соответствующую ему квадратичную функцию $y = ax^2 + bx + c$. График этой функции (парабола) должен полностью находиться по одну сторону от оси абсцисс (Ox), не пересекая её (для строгих неравенств вида $>$ или $<$) или касаясь её (для нестрогих неравенств вида $\ge$ или $\le$).

Это достигается при определённых условиях для знака старшего коэффициента $a$ и дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.

Чтобы неравенство $ax^2 + bx + c > 0$ выполнялось для всех $x$, парабола должна находиться полностью над осью Ox. Для этого её ветви должны быть направлены вверх ($a>0$), и она не должна пересекать ось Ox, то есть её дискриминант должен быть отрицательным ($D<0$).

Рассмотрим неравенство $x^2 + 1 > 0$.

Здесь коэффициенты: $a=1, b=0, c=1$. Проверим условия:

• Коэффициент $a=1 > 0$, значит, ветви параболы направлены вверх.
• Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 0^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -4 < 0$, значит, парабола не пересекает ось Ox.

Оба условия выполнены. Также можно рассуждать иначе: так как $x^2$ всегда неотрицательно ($x^2 \ge 0$), то выражение $x^2 + 1$ всегда будет не меньше 1, а значит, строго больше 0. Таким образом, неравенство выполняется для всех действительных чисел.

Ответ: $x^2 + 1 > 0$.

Чтобы неравенство $ax^2 + bx + c \le 0$ выполнялось для всех $x$, парабола должна находиться полностью под осью Ox или касаться её. Для этого её ветви должны быть направлены вниз ($a<0$), и она не должна иметь двух различных точек пересечения с осью Ox ($D \le 0$).

Рассмотрим неравенство $-x^2 + 2x - 1 \le 0$.

Здесь коэффициенты: $a=-1, b=2, c=-1$. Проверим условия:

• Коэффициент $a=-1 < 0$, значит, ветви параболы направлены вниз.
• Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-1) = 4 - 4 = 0$. Дискриминант равен нулю, значит, парабола касается оси Ox в одной точке (в своей вершине).

Оба условия ($a<0$ и $D \le 0$) выполнены. Это неравенство также можно преобразовать, вынеся минус за скобки: $-(x^2 - 2x + 1) \le 0$, что эквивалентно $-(x - 1)^2 \le 0$. Так как $(x-1)^2$ всегда неотрицательно, то выражение $-(x-1)^2$ всегда будет неположительным (меньше или равно нулю). Следовательно, неравенство верно для всех действительных чисел.

Ответ: $-x^2 + 2x - 1 \le 0$.