Номер 3.145, страница 196 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.145. Решите квадратное неравенство:

а) $x^2 - 5x < 0;$

б) $x^2 + x \ge 0;$

в) $8x - x^2 > 0;$

г) $x - x^2 \le 0;$

д) $2x^2 - 18x \ge 0;$

е) $0,3x + 9x^2 \le 0;$

ж) $3x - 5x^2 < 0;$

з) $x - 9x^2 \ge 0;$

и) $2x - 0,1x^2 > 0.$

а) Решим неравенство $x^2 - 5x < 0$.
Для этого сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 5x = 0$.
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x - 5) = 0$
Отсюда получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 5$.
Графиком функции $y = x^2 - 5x$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$).
Неравенство имеет знак «<», поэтому решением будет интервал, на котором парабола находится ниже оси абсцисс, то есть между корнями.
Ответ: $x \in (0; 5)$.

б) Решим неравенство $x^2 + x \ge 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 + x = 0$.
$x(x + 1) = 0$
Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = -1$.
Ветви параболы $y = x^2 + x$ направлены вверх ($a=1 > 0$).
Неравенство имеет знак «$\ge$», поэтому решением будут промежутки, где парабола находится выше или на оси абсцисс. Это происходит левее меньшего корня и правее большего корня, включая сами корни.
Ответ: $x \in (-\infty; -1] \cup [0; +\infty)$.

в) Решим неравенство $8x - x^2 > 0$.
Найдем корни уравнения $8x - x^2 = 0$.
$x(8 - x) = 0$
Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 8$.
Ветви параболы $y = 8x - x^2$ направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен ($a=-1 < 0$).
Неравенство имеет знак «>», поэтому решением будет интервал, на котором парабола находится выше оси абсцисс, то есть между корнями.
Ответ: $x \in (0; 8)$.

г) Решим неравенство $x - x^2 \le 0$.
Найдем корни уравнения $x - x^2 = 0$.
$x(1 - x) = 0$
Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$.
Ветви параболы $y = x - x^2$ направлены вниз ($a=-1 < 0$).
Неравенство имеет знак «$\le$», поэтому решением будут промежутки, где парабола находится ниже или на оси абсцисс. Это происходит левее меньшего корня и правее большего корня, включая сами корни.
Ответ: $x \in (-\infty; 0] \cup [1; +\infty)$.

д) Решим неравенство $2x^2 - 18x \ge 0$.
Найдем корни уравнения $2x^2 - 18x = 0$.
$2x(x - 9) = 0$
Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 9$.
Ветви параболы $y = 2x^2 - 18x$ направлены вверх ($a=2 > 0$).
Неравенство имеет знак «$\ge$», поэтому решением будут промежутки, где парабола находится выше или на оси абсцисс, включая корни.
Ответ: $x \in (-\infty; 0] \cup [9; +\infty)$.

е) Решим неравенство $0,3x + 9x^2 \le 0$.
Приведем к стандартному виду: $9x^2 + 0,3x \le 0$.
Найдем корни уравнения $9x^2 + 0,3x = 0$.
$x(9x + 0,3) = 0$
Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $9x_2 + 0,3 = 0 \Rightarrow 9x_2 = -0,3 \Rightarrow x_2 = -0,3/9 = -1/30$.
Ветви параболы $y = 9x^2 + 0,3x$ направлены вверх ($a=9 > 0$).
Неравенство имеет знак «$\le$», поэтому решением будет отрезок между корнями, включая сами корни.
Ответ: $x \in [-1/30; 0]$.

ж) Решим неравенство $3x - 5x^2 < 0$.
Найдем корни уравнения $3x - 5x^2 = 0$.
$x(3 - 5x) = 0$
Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $3 - 5x_2 = 0 \Rightarrow 5x_2 = 3 \Rightarrow x_2 = 3/5$.
Ветви параболы $y = 3x - 5x^2$ направлены вниз ($a=-5 < 0$).
Неравенство имеет знак «<», поэтому решением будут промежутки, где парабола находится ниже оси абсцисс. Это происходит левее меньшего корня и правее большего корня.
Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (3/5; +\infty)$.

з) Решим неравенство $x - 9x^2 \ge 0$.
Найдем корни уравнения $x - 9x^2 = 0$.
$x(1 - 9x) = 0$
Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $1 - 9x_2 = 0 \Rightarrow 9x_2 = 1 \Rightarrow x_2 = 1/9$.
Ветви параболы $y = x - 9x^2$ направлены вниз ($a=-9 < 0$).
Неравенство имеет знак «$\ge$», поэтому решением будет отрезок, на котором парабола находится выше или на оси абсцисс, то есть между корнями, включая их.
Ответ: $x \in [0; 1/9]$.

и) Решим неравенство $2x - 0,1x^2 > 0$.
Найдем корни уравнения $2x - 0,1x^2 = 0$.
$x(2 - 0,1x) = 0$
Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $2 - 0,1x_2 = 0 \Rightarrow 0,1x_2 = 2 \Rightarrow x_2 = 20$.
Ветви параболы $y = 2x - 0,1x^2$ направлены вниз ($a=-0,1 < 0$).
Неравенство имеет знак «>», поэтому решением будет интервал, на котором парабола находится выше оси абсцисс, то есть между корнями.
Ответ: $x \in (0; 20)$.