устные вопросы и задания в § 15, страница 195 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1. Если парабола $y = ax^2 + bx + c$ расположена выше оси абсцисс, то неравенство $ax^2 + bx + c \le 0$:

а) имеет одно решение;

б) не имеет решений;

в) имеет бесконечно много решений.

Выберите правильный ответ.

2. Если ветви параболы $y = ax^2 + bx + c$ направлены вверх, то неравенство $ax^2 + bx + c > 0$ может:

а) иметь одно решение;

б) не иметь решений;

в) иметь бесконечно много решений.

Выберите правильный ответ.

1. Если парабола $y = ax^2 + bx + c$ расположена выше оси абсцисс, это означает, что для любого действительного числа $x$ значение функции $y$ всегда положительно. Математически это записывается как $y > 0$, или $ax^2 + bx + c > 0$ при всех $x \in \mathbb{R}$.
Неравенство, которое необходимо проанализировать, — это $ax^2 + bx + c \le 0$. Оно спрашивает, при каких значениях $x$ график функции находится на оси абсцисс ($y = 0$) или ниже неё ($y < 0$).
Поскольку по условию задачи парабола всегда находится строго выше оси абсцисс, не существует значений $x$, для которых выражение $ax^2 + bx + c$ было бы равно нулю или отрицательным.
Следовательно, у данного неравенства нет решений.

Ответ: б) не имеет решений.

2. Если ветви параболы $y = ax^2 + bx + c$ направлены вверх, это означает, что коэффициент при $x^2$ положителен: $a > 0$.
Рассмотрим неравенство $ax^2 + bx + c > 0$. Положение такой параболы относительно оси абсцисс определяется дискриминантом $D = b^2 - 4ac$.
Возможны три случая:

• $D < 0$ (нет действительных корней): Парабола полностью находится выше оси абсцисс. В этом случае неравенство $ax^2 + bx + c > 0$ выполняется для всех действительных чисел $x$. Решение: $x \in (-\infty; +\infty)$. Это бесконечно много решений.
• $D = 0$ (один действительный корень): Парабола касается оси абсцисс в своей вершине. В этой точке $ax^2 + bx + c = 0$, а для всех остальных $x$ выполняется $ax^2 + bx + c > 0$. Решение — вся числовая ось, кроме одной точки. Это также бесконечно много решений.
• $D > 0$ (два действительных корня): Парабола пересекает ось абсцисс в двух точках. Неравенство $ax^2 + bx + c > 0$ выполняется для всех $x$ за пределами интервала между корнями. Это объединение двух бесконечных интервалов, что также является бесконечным множеством решений.

Таким образом, во всех возможных ситуациях, когда ветви параболы направлены вверх, неравенство $ax^2 + bx + c > 0$ всегда будет иметь бесконечно много решений.

Ответ: в) имеет бесконечно много решений.