Номер 3.143, страница 196 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.143. Решите квадратное неравенство:

а) $x^2 - 9 > 0$;

б) $4 - x^2 > 0$;

в) $-x^2 + 15 \le 0$;

г) $x^2 + 9 > 0$;

д) $-2x^2 - 7 \ge 0$;

е) $8x^2 - 2 > 0$;

ж) $5x^2 \le 0$;

з) $-7x^2 < 0$;

и) $-3x^2 \le 0$.

а) $x^2 - 9 > 0$

Чтобы решить неравенство, рассмотрим соответствующую функцию $y = x^2 - 9$. Это парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1$).

Найдем нули функции, решив уравнение $x^2 - 9 = 0$:

$x^2 = 9$

$x_1 = -3$, $x_2 = 3$

Парабола пересекает ось Ox в точках -3 и 3. Так как ветви направлены вверх, значения функции положительны вне интервала между корнями.

Следовательно, $x^2 - 9 > 0$ при $x \in (-\infty; -3) \cup (3; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (3; +\infty)$.

б) $4 - x^2 > 0$

Рассмотрим функцию $y = 4 - x^2$. Это парабола, ветви которой направлены вниз ($a=-1$).

Найдем нули функции: $4 - x^2 = 0$

$x^2 = 4$

$x_1 = -2$, $x_2 = 2$

Парабола пересекает ось Ox в точках -2 и 2. Так как ветви направлены вниз, значения функции положительны внутри интервала между корнями.

Следовательно, $4 - x^2 > 0$ при $x \in (-2; 2)$.

Ответ: $x \in (-2; 2)$.

в) $-x^2 + 15 \le 0$

Рассмотрим функцию $y = -x^2 + 15$. Это парабола с ветвями, направленными вниз ($a=-1$).

Найдем нули функции: $-x^2 + 15 = 0$

$x^2 = 15$

$x_1 = -\sqrt{15}$, $x_2 = \sqrt{15}$

Парабола пересекает ось Ox в точках $-\sqrt{15}$ и $\sqrt{15}$. Так как ветви направлены вниз, значения функции отрицательны или равны нулю на концах и вне интервала между корнями.

Следовательно, $-x^2 + 15 \le 0$ при $x \in (-\infty; -\sqrt{15}] \cup [\sqrt{15}; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -\sqrt{15}] \cup [\sqrt{15}; +\infty)$.

г) $x^2 + 9 > 0$

Выражение $x^2$ всегда неотрицательно для любого действительного числа $x$, то есть $x^2 \ge 0$.

Следовательно, сумма $x^2 + 9$ всегда будет больше или равна 9 ($x^2 + 9 \ge 9$).

Таким образом, неравенство $x^2 + 9 > 0$ выполняется для всех действительных чисел $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

д) $-2x^2 - 7 \ge 0$

Выражение $x^2$ всегда неотрицательно ($x^2 \ge 0$), поэтому $-2x^2 \le 0$.

Тогда выражение $-2x^2 - 7$ всегда будет меньше или равно -7 ($-2x^2 - 7 \le -7$).

Следовательно, оно никогда не может быть больше или равно нулю. Неравенство не имеет решений.

Ответ: решений нет, $x \in \emptyset$.

е) $8x^2 - 2 > 0$

Разделим обе части неравенства на 2: $4x^2 - 1 > 0$.

Рассмотрим функцию $y = 4x^2 - 1$. Это парабола с ветвями, направленными вверх ($a=4$).

Найдем нули функции: $4x^2 - 1 = 0$

$x^2 = \frac{1}{4}$

$x_1 = -\frac{1}{2}$, $x_2 = \frac{1}{2}$

Парабола пересекает ось Ox в точках $-1/2$ и $1/2$. Так как ветви направлены вверх, значения функции положительны вне интервала между корнями.

Следовательно, $8x^2 - 2 > 0$ при $x \in (-\infty; -1/2) \cup (1/2; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1/2) \cup (1/2; +\infty)$.

ж) $5x^2 \le 0$

Разделим обе части на 5: $x^2 \le 0$.

Поскольку квадрат любого действительного числа $x$ всегда неотрицателен ($x^2 \ge 0$), единственная возможность для выполнения неравенства $x^2 \le 0$ — это равенство $x^2 = 0$.

Это выполняется только при $x = 0$.

Ответ: $x = 0$.

з) $-7x^2 < 0$

Разделим обе части на -7 и изменим знак неравенства на противоположный: $x^2 > 0$.

Выражение $x^2$ положительно для любого действительного числа $x$, кроме $x = 0$ (когда $x^2 = 0$).

Следовательно, решением является любое число, кроме нуля.

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

и) $-3x^2 \le 0$

Разделим обе части на -3 и изменим знак неравенства на противоположный: $x^2 \ge 0$.

Квадрат любого действительного числа всегда больше или равен нулю.

Следовательно, неравенство выполняется для всех действительных чисел $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.