Номер 3.148, страница 196 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.148. Приведите пример квадратного неравенства, решением которого является:

а) промежуток $[-3; 3]$;

б) число 8.

Чтобы решением квадратного неравенства был промежуток $[-3; 3]$, необходимо, чтобы числа -3 и 3 были корнями соответствующего квадратного трехчлена. Такой трехчлен можно составить, используя формулу $a(x-x_1)(x-x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни.

Подставим $x_1 = -3$ и $x_2 = 3$:

$a(x - (-3))(x - 3) = a(x+3)(x-3)$

Используя формулу разности квадратов, преобразуем выражение:

$a(x^2 - 9)$

Решение неравенства представляет собой отрезок между корнями. Это означает, что для параболы с ветвями вверх ($a > 0$) значения функции должны быть неположительными ($y \le 0$). Выберем простейший случай $a=1$. Тогда неравенство принимает вид:

$x^2 - 9 \le 0$

Проверим: корни уравнения $x^2 - 9 = 0$ это $x = \pm 3$. График функции $y = x^2 - 9$ — парабола с ветвями вверх. Следовательно, $y \le 0$ при $x \in [-3; 3]$.

Ответ: $x^2 - 9 \le 0$.

Чтобы решением квадратного неравенства было единственное число 8, необходимо, чтобы парабола, являющаяся графиком соответствующей функции, касалась оси абсцисс в точке $x=8$ и только в этой точке удовлетворяла условию неравенства.

Если парабола касается оси в точке $x=8$, это означает, что у квадратного трехчлена есть один корень кратности 2. Такой трехчлен можно записать в виде $a(x-x_0)^2$, где $x_0$ — корень.

Подставим $x_0 = 8$: $a(x-8)^2$.

Выберем простейший случай, когда $a=1$. Парабола $y = (x-8)^2$ имеет ветви вверх и касается оси $Ox$ в точке $x=8$. Значение этой функции всегда неотрицательно: $(x-8)^2 \ge 0$. Равенство нулю достигается только при $x=8$.

Чтобы решением было только число 8, нужно выбрать знак неравенства так, чтобы оно было верным только при $y=0$. Таким неравенством является $y \le 0$.

$(x-8)^2 \le 0$

Это неравенство выполняется только в одном случае: когда $(x-8)^2 = 0$, то есть при $x=8$.

Ответ: $(x-8)^2 \le 0$.