Номер 3.164, страница 199 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.164. Докажите, что при всех значениях переменной верно неравенство $-3x^2 + x \leq \frac{1}{3}$.

Для доказательства неравенства $-3x^2 + x \le \frac{1}{3}$ выполним следующие преобразования.

1. Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$-3x^2 + x - \frac{1}{3} \le 0$

2. Умножим обе части неравенства на $-1$. При этом знак неравенства изменится на противоположный:

$3x^2 - x + \frac{1}{3} \ge 0$

3. Теперь докажем, что левая часть полученного неравенства всегда неотрицательна. Для этого применим метод выделения полного квадрата. Вынесем за скобки общий множитель 3:

$3\left(x^2 - \frac{1}{3}x\right) + \frac{1}{3} \ge 0$

4. Чтобы выражение в скобках стало полным квадратом, нужно добавить и вычесть квадрат половины коэффициента при $x$. Коэффициент при $x$ равен $-\frac{1}{3}$, его половина — $-\frac{1}{6}$, а квадрат этой половины — $\left(-\frac{1}{6}\right)^2 = \frac{1}{36}$.

$3\left(x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{6} + \frac{1}{36} - \frac{1}{36}\right) + \frac{1}{3} \ge 0$

5. Теперь свернем первые три слагаемых в скобках по формуле квадрата разности:

$3\left(\left(x - \frac{1}{6}\right)^2 - \frac{1}{36}\right) + \frac{1}{3} \ge 0$

6. Раскроем скобки и упростим выражение:

$3\left(x - \frac{1}{6}\right)^2 - 3 \cdot \frac{1}{36} + \frac{1}{3} \ge 0$

$3\left(x - \frac{1}{6}\right)^2 - \frac{1}{12} + \frac{4}{12} \ge 0$

$3\left(x - \frac{1}{6}\right)^2 + \frac{3}{12} \ge 0$

$3\left(x - \frac{1}{6}\right)^2 + \frac{1}{4} \ge 0$

7. Проанализируем полученное неравенство. Выражение $\left(x - \frac{1}{6}\right)^2$ является полным квадратом, поэтому оно всегда неотрицательно (больше или равно нулю) при любых значениях $x$.

$\left(x - \frac{1}{6}\right)^2 \ge 0$

Умножение на положительное число 3 не меняет знака:

$3\left(x - \frac{1}{6}\right)^2 \ge 0$

Сумма неотрицательного выражения $3\left(x - \frac{1}{6}\right)^2$ и положительного числа $\frac{1}{4}$ всегда будет положительной. Ее наименьшее значение равно $\frac{1}{4}$ (и достигается при $x=\frac{1}{6}$).

Поскольку $3\left(x - \frac{1}{6}\right)^2 + \frac{1}{4} \ge \frac{1}{4} > 0$, данное неравенство верно для всех $x$. Так как все преобразования были равносильными, то и исходное неравенство $-3x^2 + x \le \frac{1}{3}$ верно при всех значениях переменной.

Что и требовалось доказать.