Номер 3.165, страница 199 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.165. Решите неравенство:

a) $ \frac{x^2}{10} + 2 \le \frac{9x}{10}; $

Б) $ \frac{x^2}{3} \ge \frac{3x+3}{4}; $

В) $ \frac{x^2+2}{14} > \frac{x^2-23}{4}; $

Г) $ \frac{x^2}{3} - \frac{3x-5}{4} < \frac{2x}{3}; $

Д) $ \frac{x^2+2}{6} - \frac{3x-1}{8} \le 1; $

e) $ 2x^2 - \frac{x+1}{2} < \frac{x-3}{3}. $

а) Решим неравенство $\frac{x^2}{10} + 2 \le \frac{9x}{10}$.
Для того чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части неравенства на 10. Так как 10 > 0, знак неравенства не меняется:
$10 \cdot (\frac{x^2}{10} + 2) \le 10 \cdot \frac{9x}{10}$
$x^2 + 20 \le 9x$
Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное неравенство:
$x^2 - 9x + 20 \le 0$
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 9x + 20 = 0$. Воспользуемся теоремой Виета: сумма корней равна 9, а их произведение равно 20. Легко подобрать корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = 5$.
Графиком функции $y = x^2 - 9x + 20$ является парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $x^2$ положителен). Значения функции не положительны ($y \le 0$) на отрезке между корнями, включая сами корни.
Следовательно, решение неравенства: $4 \le x \le 5$.
Ответ: $[4; 5]$.

б) Решим неравенство $\frac{x^2}{3} \ge \frac{3x+3}{4}$.
Найдем наименьший общий знаменатель для 3 и 4, который равен 12. Умножим обе части неравенства на 12:
$12 \cdot \frac{x^2}{3} \ge 12 \cdot \frac{3x+3}{4}$
$4x^2 \ge 3(3x+3)$
$4x^2 \ge 9x + 9$
Приведем неравенство к стандартному виду:
$4x^2 - 9x - 9 \ge 0$
Найдем корни уравнения $4x^2 - 9x - 9 = 0$ с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-9) = 81 + 144 = 225 = 15^2$
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 - 15}{2 \cdot 4} = \frac{-6}{8} = -\frac{3}{4}$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + 15}{2 \cdot 4} = \frac{24}{8} = 3$
Парабола $y = 4x^2 - 9x - 9$ имеет ветви, направленные вверх. Значения функции не отрицательны ($y \ge 0$) при $x$ левее меньшего корня и правее большего корня, включая сами корни.
Таким образом, решение: $x \le -\frac{3}{4}$ или $x \ge 3$.
Ответ: $(-\infty; -3/4] \cup [3; +\infty)$.

в) Решим неравенство $\frac{x^2+2}{14} > \frac{x^2-23}{4}$.
Наименьший общий знаменатель для 14 и 4 равен 28. Умножим обе части на 28:
$28 \cdot \frac{x^2+2}{14} > 28 \cdot \frac{x^2-23}{4}$
$2(x^2+2) > 7(x^2-23)$
$2x^2 + 4 > 7x^2 - 161$
Сгруппируем слагаемые:
$4 + 161 > 7x^2 - 2x^2$
$165 > 5x^2$
Разделим обе части на 5:
$33 > x^2$ или $x^2 < 33$.
Это неравенство равносильно $|x| < \sqrt{33}$, что означает $-\sqrt{33} < x < \sqrt{33}$.
Ответ: $(-\sqrt{33}; \sqrt{33})$.

г) Решим неравенство $\frac{x^2}{3} - \frac{3x-5}{4} < \frac{2x}{3}$.
Общий знаменатель равен 12. Умножим все члены неравенства на 12:
$12 \cdot \frac{x^2}{3} - 12 \cdot \frac{3x-5}{4} < 12 \cdot \frac{2x}{3}$
$4x^2 - 3(3x-5) < 8x$
$4x^2 - 9x + 15 < 8x$
Приведем к стандартному виду:
$4x^2 - 17x + 15 < 0$
Найдем корни уравнения $4x^2 - 17x + 15 = 0$:
$D = (-17)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 15 = 289 - 240 = 49 = 7^2$
$x_1 = \frac{17 - 7}{8} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4}$
$x_2 = \frac{17 + 7}{8} = \frac{24}{8} = 3$
Ветви параболы $y = 4x^2 - 17x + 15$ направлены вверх. Неравенство $y < 0$ выполняется на интервале между корнями (не включая их): $\frac{5}{4} < x < 3$.
Представим неправильную дробь $\frac{5}{4}$ в виде смешанного числа: $\frac{5}{4} = 1\frac{1}{4}$.
Ответ: $(\mathbf{1}\frac{1}{4}; 3)$.

д) Решим неравенство $\frac{x^2+2}{6} - \frac{3x-1}{8} \le 1$.
Наименьший общий знаменатель для 6 и 8 равен 24. Умножим неравенство на 24:
$24 \cdot (\frac{x^2+2}{6} - \frac{3x-1}{8}) \le 24 \cdot 1$
$4(x^2+2) - 3(3x-1) \le 24$
$4x^2 + 8 - 9x + 3 \le 24$
$4x^2 - 9x + 11 \le 24$
$4x^2 - 9x - 13 \le 0$
Найдем корни уравнения $4x^2 - 9x - 13 = 0$:
$D = (-9)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-13) = 81 + 208 = 289 = 17^2$
$x_1 = \frac{9 - 17}{8} = \frac{-8}{8} = -1$
$x_2 = \frac{9 + 17}{8} = \frac{26}{8} = \frac{13}{4}$
Ветви параболы $y = 4x^2 - 9x - 13$ направлены вверх. Неравенство $y \le 0$ выполняется на отрезке между корнями, включая их: $-1 \le x \le \frac{13}{4}$.
Преобразуем неправильную дробь $\frac{13}{4}$ в смешанное число: $\frac{13}{4} = 3\frac{1}{4}$.
Ответ: $[-1; \mathbf{3}\frac{1}{4}]$.

е) Решим неравенство $2x^2 - \frac{x+1}{2} < \frac{x-3}{3}$.
Общий знаменатель для 2 и 3 равен 6. Умножим все на 6:
$6 \cdot (2x^2 - \frac{x+1}{2}) < 6 \cdot \frac{x-3}{3}$
$12x^2 - 3(x+1) < 2(x-3)$
$12x^2 - 3x - 3 < 2x - 6$
Приведем к стандартному виду:
$12x^2 - 5x + 3 < 0$
Рассмотрим квадратный трехчлен $12x^2 - 5x + 3$. Найдем его дискриминант:
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 12 \cdot 3 = 25 - 144 = -119$.
Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$) и старший коэффициент положителен ($a=12 > 0$), то парабола $y = 12x^2 - 5x + 3$ полностью расположена выше оси Ox. Это означает, что выражение $12x^2 - 5x + 3$ всегда принимает положительные значения.
Следовательно, неравенство $12x^2 - 5x + 3 < 0$ не имеет решений.
Ответ: нет решений.