Номер 3.170, страница 199 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.170. Используя схему графика функции $y = x^2 - 25$, изображенную на рисунке 86, решите неравенство:

а) $x^2 - 25 > 0;$

б) $x^2 - 25 \ge 0;$

в) $x^2 - 25 < 0;$

г) $x^2 - 25 \le 0.$

Рис. 86

Для решения данных неравенств воспользуемся схемой графика функции $y = x^2 - 25$, представленной на рисунке. Графиком является парабола, ветви которой направлены вверх. Она пересекает ось абсцисс (ось Ox) в точках, где $y = 0$, то есть когда $x^2 - 25 = 0$. Корнями этого уравнения являются $x_1 = -5$ и $x_2 = 5$.

Решение каждого неравенства находим, определяя, на каких промежутках график функции находится выше или ниже оси Ox.

а) $x^2 - 25 > 0$
Неравенство $x^2 - 25 > 0$ выполняется для тех значений $x$, при которых график функции $y = x^2 - 25$ расположен выше оси абсцисс (Ox). Глядя на схему, видим, что это происходит при $x$, меньших $-5$, и при $x$, больших $5$. Точки $x = -5$ и $x = 5$ не включаются, так как неравенство строгое.
Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup (5; +\infty)$.

б) $x^2 - 25 \ge 0$
Неравенство $x^2 - 25 \ge 0$ выполняется для тех значений $x$, при которых график функции расположен выше или на оси Ox. Это включает в себя интервалы из предыдущего пункта, а также точки пересечения с осью ($x = -5$ и $x = 5$), где функция равна нулю.
Ответ: $x \in (-\infty; -5] \cup [5; +\infty)$.

в) $x^2 - 25 < 0$
Неравенство $x^2 - 25 < 0$ выполняется для тех значений $x$, при которых график функции расположен ниже оси Ox. Из схемы видно, что это интервал между корнями, то есть между $-5$ и $5$. Точки $x = -5$ и $x = 5$ не включаются, так как неравенство строгое.
Ответ: $x \in (-5; 5)$.

г) $x^2 - 25 \le 0$
Неравенство $x^2 - 25 \le 0$ выполняется для тех значений $x$, при которых график функции расположен ниже или на оси Ox. Это включает в себя интервал из предыдущего пункта, а также точки пересечения с осью ($x = -5$ и $x = 5$).
Ответ: $x \in [-5; 5]$.