Номер 3.179, страница 200 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.179. Найдите значения переменной, при которых значения двучлена $6x^2 - 4x$ меньше значений трехчлена $4x^2 + 3x + 9$.

Для того чтобы найти значения переменной, при которых значения двучлена $6x^2 - 4x$ меньше значений трехчлена $4x^2 + 3x + 9$, необходимо составить и решить неравенство:

$6x^2 - 4x < 4x^2 + 3x + 9$

Перенесем все члены неравенства в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$6x^2 - 4x - 4x^2 - 3x - 9 < 0$

$2x^2 - 7x - 9 < 0$

Теперь найдем корни соответствующего квадратного уравнения $2x^2 - 7x - 9 = 0$. Для этого воспользуемся формулой для нахождения корней через дискриминант.

Коэффициенты уравнения: $a = 2, b = -7, c = -9$.

Вычислим дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 49 + 72 = 121$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-7) \pm \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{7 \pm 11}{4}$

Первый корень:

$x_1 = \frac{7 - 11}{4} = \frac{-4}{4} = -1$

Второй корень:

$x_2 = \frac{7 + 11}{4} = \frac{18}{4} = \frac{9}{2}$

Мы решаем неравенство $2x^2 - 7x - 9 < 0$. Графиком функции $y = 2x^2 - 7x - 9$ является парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент $a=2 > 0$). Следовательно, значения функции будут отрицательными (меньше нуля) на интервале между корнями.

Таким образом, решением неравенства является интервал $x \in (-1; \frac{9}{2})$.

Преобразуем неправильную дробь $\frac{9}{2}$ в смешанное число, чтобы выделить целую часть: $\frac{9}{2} = 4\frac{1}{2}$.

Ответ: значения переменной принадлежат интервалу $x \in (-1; \mathbf{4}\frac{1}{2})$.