Номер 3.178, страница 200 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.178. Решите неравенство:

a) $4x^2 - 7x + 7 > 3x^2 - 11x + 52$

б) $10x^2 + 8x - 2 \le x^2 - 16x - 18$

а) Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$4x^2 - 7x + 7 - 3x^2 + 11x - 52 > 0$

Приведем подобные слагаемые, чтобы получить стандартное квадратное неравенство:

$(4x^2 - 3x^2) + (-7x + 11x) + (7 - 52) > 0$

$x^2 + 4x - 45 > 0$

Теперь найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 4x - 45 = 0$. Для этого воспользуемся формулой дискриминанта.

Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-45) = 16 + 180 = 196$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 14}{2} = \frac{-18}{2} = -9$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 14}{2} = \frac{10}{2} = 5$

Графиком функции $y = x^2 + 4x - 45$ является парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при $x^2$ положителен). Значения функции положительны ($y>0$) на промежутках, где график параболы находится выше оси Ox, то есть вне интервала между корнями.

Следовательно, решение неравенства — это объединение двух интервалов: $x < -9$ и $x > 5$.

Ответ: $x \in (-\infty; -9) \cup (5; \infty)$.

б) Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$10x^2 + 8x - 2 - x^2 + 16x + 18 \le 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(10x^2 - x^2) + (8x + 16x) + (-2 + 18) \le 0$

$9x^2 + 24x + 16 \le 0$

Заметим, что левая часть неравенства является полным квадратом суммы:

$9x^2 + 24x + 16 = (3x)^2 + 2 \cdot (3x) \cdot 4 + 4^2 = (3x + 4)^2$

Таким образом, неравенство принимает вид:

$(3x + 4)^2 \le 0$

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(3x + 4)^2 \ge 0$ для любого $x$.

Следовательно, неравенство $(3x + 4)^2 \le 0$ может выполняться только в одном случае, когда $(3x + 4)^2 = 0$.

Решим получившееся уравнение:

$3x + 4 = 0$

$3x = -4$

$x = -\frac{4}{3}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число и выделим целую часть:

$-\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3}$

Ответ: $x = -\mathbf{1}\frac{1}{3}$.