Номер 3.184, страница 201 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.184. Примените формулы сокращенного умножения и решите неравенство:

а) $(x+4)^2 \ge 6x+40;$

б) $(2x+1)^2+2 \le 2(x-3x^2);$

в) $(3x+1)^2+33 > (2x+5)^2;$

г) $(x-1)(x+1) > x^2+4-(x-5)^2.$

а) $(x + 4)^2 \ge 6x + 40$

Для решения неравенства применим формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ к левой части:

$x^2 + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 \ge 6x + 40$

$x^2 + 8x + 16 \ge 6x + 40$

Перенесем все члены неравенства в левую часть и приведем подобные слагаемые, чтобы получить квадратное неравенство:

$x^2 + 8x - 6x + 16 - 40 \ge 0$

$x^2 + 2x - 24 \ge 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 2x - 24 = 0$. Используем теорему Виета или формулу для корней:

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100 = 10^2$.

$x_1 = \frac{-2 - 10}{2} = -6$

$x_2 = \frac{-2 + 10}{2} = 4$

Парабола $y = x^2 + 2x - 24$ ветвями направлена вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$). Следовательно, неравенство $x^2 + 2x - 24 \ge 0$ выполняется при значениях $x$ левее меньшего корня и правее большего корня, включая сами корни.

Ответ: $x \in (-\infty; -6] \cup [4; +\infty)$.

б) $(2x + 1)^2 + 2 \le 2(x - 3x^2)$

Раскроем скобки в обеих частях неравенства. В левой части используем формулу квадрата суммы:

$(2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 1 + 1^2 + 2 \le 2x - 6x^2$

$4x^2 + 4x + 1 + 2 \le 2x - 6x^2$

$4x^2 + 4x + 3 \le 2x - 6x^2$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$4x^2 + 6x^2 + 4x - 2x + 3 \le 0$

$10x^2 + 2x + 3 \le 0$

Рассмотрим соответствующее квадратное уравнение $10x^2 + 2x + 3 = 0$. Найдем его дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 10 \cdot 3 = 4 - 120 = -116$.

Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), а старший коэффициент положителен ($a=10 > 0$), то парабола $y = 10x^2 + 2x + 3$ полностью расположена выше оси Ox. Это означает, что выражение $10x^2 + 2x + 3$ всегда принимает положительные значения. Неравенство $10x^2 + 2x + 3 \le 0$ не имеет решений.

Ответ: решений нет (или $x \in \emptyset$).

в) $(3x + 1)^2 + 33 > (2x + 5)^2$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы для обеих частей:

$(9x^2 + 6x + 1) + 33 > 4x^2 + 20x + 25$

$9x^2 + 6x + 34 > 4x^2 + 20x + 25$

Перенесем все члены в левую часть:

$9x^2 - 4x^2 + 6x - 20x + 34 - 25 > 0$

$5x^2 - 14x + 9 > 0$

Найдем корни уравнения $5x^2 - 14x + 9 = 0$:

$D = (-14)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 9 = 196 - 180 = 16 = 4^2$.

$x_1 = \frac{14 - 4}{2 \cdot 5} = \frac{10}{10} = 1$

$x_2 = \frac{14 + 4}{2 \cdot 5} = \frac{18}{10} = \frac{9}{5}$

Парабола $y = 5x^2 - 14x + 9$ ветвями направлена вверх ($a=5 > 0$). Неравенство $5x^2 - 14x + 9 > 0$ выполняется вне интервала между корнями.

Выделим целую часть из неправильной дроби: $\frac{9}{5} = 1\frac{4}{5}$.

Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (1\frac{4}{5}; +\infty)$.

г) $(x - 1)(x + 1) > x^2 + 4 - (x - 5)^2$

Применим формулы сокращенного умножения: разность квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ для левой части и квадрат разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ для правой.

$x^2 - 1^2 > x^2 + 4 - (x^2 - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2)$

$x^2 - 1 > x^2 + 4 - (x^2 - 10x + 25)$

Раскроем скобки в правой части:

$x^2 - 1 > x^2 + 4 - x^2 + 10x - 25$

Упростим правую часть:

$x^2 - 1 > 10x - 21$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное неравенство:

$x^2 - 10x - 1 + 21 > 0$

$x^2 - 10x + 20 > 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 10x + 20 = 0$:

$D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 100 - 80 = 20$.

$\sqrt{D} = \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$.

$x_1 = \frac{10 - 2\sqrt{5}}{2} = 5 - \sqrt{5}$

$x_2 = \frac{10 + 2\sqrt{5}}{2} = 5 + \sqrt{5}$

Парабола $y = x^2 - 10x + 20$ ветвями направлена вверх ($a=1 > 0$). Неравенство $x^2 - 10x + 20 > 0$ выполняется при значениях $x$ вне интервала между корнями.

Ответ: $x \in (-\infty; 5 - \sqrt{5}) \cup (5 + \sqrt{5}; +\infty)$.