Номер 3.100, страница 186 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.100. Постройте график квадратичной функции $y = -x^2 + 4$.

Найдите:

а) значения аргумента, при которых функция принимает отрицательные значения;

б) промежуток, на котором функция убывает.

Для построения графика квадратичной функции $y = -x^2 + 4$ выполним следующие шаги:

1. Определение направления ветвей параболы.
   Функция является квадратичной вида $y = ax^2 + bx + c$, где $a = -1$, $b = 0$, $c = 4$. Так как коэффициент $a = -1 < 0$, ветви параболы направлены вниз.
2. Нахождение координат вершины параболы.
   Абсцисса (координата x) вершины находится по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$.
   $x_0 = -\frac{0}{2 \cdot (-1)} = 0$.
   Ордината (координата y) вершины находится подстановкой $x_0$ в уравнение функции:
   $y_0 = -(0)^2 + 4 = 4$.
   Следовательно, вершина параболы находится в точке $(0; 4)$.
3. Нахождение точек пересечения с осями координат (нулей функции).
   Пересечение с осью Oy:
   Для этого подставляем $x = 0$ в уравнение: $y = -(0)^2 + 4 = 4$. Точка пересечения — $(0; 4)$, что совпадает с вершиной.
   Пересечение с осью Ox:
   Для этого приравниваем $y$ к нулю: $-x^2 + 4 = 0$.
   $x^2 = 4$
   $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$.
   Точки пересечения — $(-2; 0)$ и $(2; 0)$.

4. Построение графика.
   Используя вершину $(0; 4)$ и точки пересечения с осью Ox $(-2; 0)$ и $(2; 0)$, можно построить параболу. Для большей точности можно найти еще пару симметричных точек, например:

   • при $x=1$, $y = -(1)^2 + 4 = 3$. Точка $(1; 3)$.
   • при $x=-1$, $y = -(-1)^2 + 4 = 3$. Точка $(-1; 3)$.
   График представляет собой параболу с вершиной в точке $(0; 4)$, ветви которой направлены вниз и пересекают ось абсцисс в точках $x=-2$ и $x=2$.

Теперь найдем требуемые значения по графику и аналитически.

а) значения аргумента, при которых функция принимает отрицательные значения;

Функция принимает отрицательные значения ($y < 0$), когда ее график находится ниже оси Ox. Это происходит левее точки $x=-2$ и правее точки $x=2$.
Чтобы найти эти значения аналитически, решим неравенство: $$-x^2 + 4 < 0$$ $$-x^2 < -4$$ Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства: $$x^2 > 4$$ Это неравенство справедливо, когда $|x| > 2$, то есть $x < -2$ или $x > 2$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (2; \infty)$.

б) промежуток, на котором функция убывает.

Функция убывает на том промежутке, где с увеличением $x$ значение $y$ уменьшается. Для параболы с ветвями вниз это происходит на луче справа от вершины.
Вершина параболы находится в точке с абсциссой $x_0 = 0$. Следовательно, функция убывает на промежутке от 0 до $+\infty$.

Ответ: $[0; +\infty)$.