Номер 3.95, страница 185 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.95. Дана функция

$g(x) = -x^2 + 8x - 1.$

Не выполняя вычислений, расположите в порядке убывания:

а) $g(5)$; $g(6,2)$ и $g(7,4);$

б) $g(-2)$; $g(1,8)$ и $g(-3,7).$

Для того чтобы расположить значения функции в порядке убывания, не выполняя вычислений, необходимо исследовать свойства данной квадратичной функции $g(x) = -x^2 + 8x - 1$.

Графиком этой функции является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $-1$, что является отрицательным числом, следовательно, ветви параболы направлены вниз. Это означает, что функция имеет точку максимума в своей вершине.

Найдем абсциссу (координату $x$) вершины параболы по формуле $x_в = -\frac{b}{2a}$:

$x_в = -\frac{8}{2 \cdot (-1)} = -\frac{8}{-2} = 4$.

Вершина параболы находится в точке с абсциссой $x=4$. Поскольку ветви параболы направлены вниз, функция $g(x)$:

• возрастает на промежутке $(-\infty; 4]$;
• убывает на промежутке $[4; +\infty)$.

Также можно сказать, что чем дальше значение аргумента $x$ находится от вершины $x_в = 4$, тем меньшее значение принимает функция $g(x)$.

а) g(5); g(6,2) и g(7,4);

Все аргументы ($5; 6,2; 7,4$) больше, чем абсцисса вершины $x_в=4$. Они принадлежат промежутку убывания функции $[4; +\infty)$.

На этом промежутке большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Так как $5 < 6,2 < 7,4$, то $g(5) > g(6,2) > g(7,4)$.

Следовательно, в порядке убывания значения располагаются так: $g(5); g(6,2); g(7,4)$.

Ответ: $g(5); g(6,2); g(7,4)$.

б) g(-2); g(1,8) и g(-3,7).

Все аргументы ($-2; 1,8; -3,7$) меньше, чем абсцисса вершины $x_в=4$. Они принадлежат промежутку возрастания функции $(-\infty; 4]$.

На этом промежутке большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Расположим аргументы в порядке возрастания: $-3,7 < -2 < 1,8$. Следовательно, $g(-3,7) < g(-2) < g(1,8)$.

Для того чтобы расположить значения в порядке убывания, запишем их в обратном порядке: $g(1,8); g(-2); g(-3,7)$.

Ответ: $g(1,8); g(-2); g(-3,7)$.