Номер 3.92, страница 185 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.92. Постройте график квадратичной функции:

a) $y=(x-7)^2$;

б) $y=-2x^2+8$;

в) $y=-3(x+2)^2$.

Найдите промежуток убывания функции.

Для построения графика квадратичной функции $y = a(x - m)^2 + n$ и нахождения промежутков монотонности необходимо определить ключевые параметры: направление ветвей параболы (по знаку коэффициента $a$) и координаты вершины $(m, n)$.

1. Построение графика:
Это квадратичная функция, ее график — парабола. Функция представлена в виде $y = a(x - m)^2 + n$, где $a=1$, $m=7$, $n=0$.

• Координаты вершины параболы: $(m, n) = (7, 0)$.
• Так как коэффициент $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.
• Ось симметрии параболы — вертикальная прямая $x=7$.
• График получается сдвигом графика функции $y=x^2$ на 7 единиц вправо вдоль оси Ox.

2. Нахождение промежутка убывания:
Поскольку ветви параболы направлены вверх, функция убывает на промежутке слева от вершины и возрастает справа. Абсцисса вершины $x_v = 7$. Таким образом, функция убывает при $x \le 7$.

Ответ: промежуток убывания функции $x \in (-\infty, 7]$.

1. Построение графика:
Это квадратичная функция, ее график — парабола. Функцию можно представить в виде $y = a(x - m)^2 + n$, где $a=-2$, $m=0$, $n=8$.

• Координаты вершины параболы: $(m, n) = (0, 8)$.
• Так как коэффициент $a = -2 < 0$, ветви параболы направлены вниз.
• Ось симметрии параболы — ось Oy ($x=0$).
• График получается из графика $y=x^2$ следующими преобразованиями: растяжением в 2 раза вдоль оси Oy, отражением относительно оси Ox и сдвигом на 8 единиц вверх вдоль оси Oy.

2. Нахождение промежутка убывания:
Поскольку ветви параболы направлены вниз, функция возрастает на промежутке слева от вершины и убывает справа. Абсцисса вершины $x_v = 0$. Таким образом, функция убывает при $x \ge 0$.

Ответ: промежуток убывания функции $x \in [0, +\infty)$.

1. Построение графика:
Это квадратичная функция, ее график — парабола. Функцию можно представить в виде $y = a(x - m)^2 + n$, где $a=-3$, $m=-2$, $n=0$.

• Координаты вершины параболы: $(m, n) = (-2, 0)$.
• Так как коэффициент $a = -3 < 0$, ветви параболы направлены вниз.
• Ось симметрии параболы — вертикальная прямая $x=-2$.
• График получается из графика $y=x^2$ следующими преобразованиями: сдвигом на 2 единицы влево вдоль оси Ox, растяжением в 3 раза вдоль оси Oy и отражением относительно оси Ox.

2. Нахождение промежутка убывания:
Поскольку ветви параболы направлены вниз, функция возрастает на промежутке слева от вершины и убывает справа. Абсцисса вершины $x_v = -2$. Таким образом, функция убывает при $x \ge -2$.

Ответ: промежуток убывания функции $x \in [-2, +\infty)$.