Номер 3.86, страница 183 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.86. Найдите промежутки возрастания и убывания квадратичной функции, используя алгоритм:

a) $y = x^2 - 6x + 4;$

б) $y = -x^2 + 8x - 1;$

в) $y = 4x^2 + 12x - 5;$

г) $y = -3x^2 - 6x + 8;$

д) $y = 9x^2 - 6x;$

е) $y = -5x^2 + 7.$

а) Для функции $y = x^2 - 6x + 4$ коэффициент $a=1$. Так как $a>0$, ветви параболы направлены вверх. Следовательно, функция сначала убывает, а затем возрастает. Границей является абсцисса вершины параболы, которую находим по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$:
$x_0 = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$.
Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; 3]$ и возрастает на промежутке $[3; +\infty)$.

б) Для функции $y = -x^2 + 8x - 1$ коэффициент $a=-1$. Так как $a<0$, ветви параболы направлены вниз. Следовательно, функция сначала возрастает, а затем убывает. Границей является абсцисса вершины параболы:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2 \cdot (-1)} = 4$.
Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 4]$ и убывает на промежутке $[4; +\infty)$.

в) Для функции $y = 4x^2 + 12x - 5$ коэффициент $a=4$. Так как $a>0$, ветви параболы направлены вверх. Следовательно, функция сначала убывает, а затем возрастает. Границей является абсцисса вершины параболы:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{12}{2 \cdot 4} = -\frac{12}{8} = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2}$.
Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; -1\frac{1}{2}]$ и возрастает на промежутке $[-1\frac{1}{2}; +\infty)$.

г) Для функции $y = -3x^2 - 6x + 8$ коэффициент $a=-3$. Так как $a<0$, ветви параболы направлены вниз. Следовательно, функция сначала возрастает, а затем убывает. Границей является абсцисса вершины параболы:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot (-3)} = -1$.
Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; -1]$ и убывает на промежутке $[-1; +\infty)$.

д) Для функции $y = 9x^2 - 6x$ коэффициент $a=9$. Так как $a>0$, ветви параболы направлены вверх. Следовательно, функция сначала убывает, а затем возрастает. Границей является абсцисса вершины параболы:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 9} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$.
Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; \frac{1}{3}]$ и возрастает на промежутке $[\frac{1}{3}; +\infty)$.

е) Для функции $y = -5x^2 + 7$ коэффициент $a=-5$. Так как $a<0$, ветви параболы направлены вниз. Следовательно, функция сначала возрастает, а затем убывает. Границей является абсцисса вершины параболы (здесь $b=0$):
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot (-5)} = 0$.
Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0]$ и убывает на промежутке $[0; +\infty)$.