Номер 3.85, страница 183 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.85. Из данных квадратичных функций выберите функцию, возрастающую на промежутке $(-\infty; 5]$:

а) $f(x) = (x - 5)^2 + 3;$

б) $f(x) = (x - 3)^2 + 5;$

в) $f(x) = -(x - 5)^2 + 3;$

г) $f(x) = -(x - 3)^2 + 5.$

Для решения задачи необходимо определить, какая из предложенных квадратичных функций возрастает на промежутке $(-\infty; 5]$. Все функции даны в вершинной форме $f(x) = a(x - h)^2 + k$, где точка $(h, k)$ является вершиной параболы.

Поведение функции (возрастание/убывание) зависит от знака коэффициента $a$ и от положения вершины $h$:

• Если $a > 0$, ветви параболы направлены вверх. Функция убывает на промежутке $(-\infty, h]$ и возрастает на промежутке $[h, \infty)$.
• Если $a < 0$, ветви параболы направлены вниз. Функция возрастает на промежутке $(-\infty, h]$ и убывает на промежутке $[h, \infty)$.

В условии сказано, что функция должна возрастать на промежутке $(-\infty; 5]$. Это означает, что мы ищем функцию, для которой выполняются два условия:

1. Ветви параболы направлены вниз, то есть коэффициент $a < 0$.
2. Абсцисса вершины параболы равна $h = 5$.

Проанализируем каждый из предложенных вариантов:

Для этой функции: $a = 1$, $h = 5$.
Поскольку $a > 0$, ветви параболы направлены вверх. Функция убывает на промежутке $(-\infty; 5]$.

Ответ: не подходит.

Для этой функции: $a = 1$, $h = 3$.
Поскольку $a > 0$, ветви параболы направлены вверх. Функция убывает на промежутке $(-\infty; 3]$.

Ответ: не подходит.

Для этой функции: $a = -1$, $h = 5$.
Поскольку $a < 0$, ветви параболы направлены вниз. Абсцисса вершины $h=5$. Следовательно, функция возрастает на промежутке $(-\infty; 5]$. Это полностью удовлетворяет условию задачи.

Ответ: подходит.

Для этой функции: $a = -1$, $h = 3$.
Поскольку $a < 0$, ветви параболы направлены вниз. Функция возрастает на промежутке $(-\infty; 3]$. Это не соответствует заданному промежутку $(-\infty; 5]$.

Ответ: не подходит.

Таким образом, единственная функция, удовлетворяющая условию, — это функция в).