Номер 3.80, страница 175 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.80. Упростите выражение

$(\sqrt{21} + \sqrt{14} - 2\sqrt{35}) \cdot \frac{1}{7}\sqrt{7} + \sqrt{20}.$

Для того чтобы упростить данное выражение, выполним действия по порядку, сначала умножение, а затем сложение.

Исходное выражение: $(\sqrt{21} + \sqrt{14} - 2\sqrt{35}) \cdot \frac{1}{7}\sqrt{7} + \sqrt{20}$

1. Упростим подкоренные выражения, разложив их на множители:

$\sqrt{21} = \sqrt{3 \cdot 7} = \sqrt{3}\sqrt{7}$
$\sqrt{14} = \sqrt{2 \cdot 7} = \sqrt{2}\sqrt{7}$
$\sqrt{35} = \sqrt{5 \cdot 7} = \sqrt{5}\sqrt{7}$
$\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$

2. Подставим упрощенные выражения в исходное:

$(\sqrt{3}\sqrt{7} + \sqrt{2}\sqrt{7} - 2\sqrt{5}\sqrt{7}) \cdot \frac{1}{7}\sqrt{7} + 2\sqrt{5}$

3. Вынесем общий множитель $\sqrt{7}$ из скобок:

$\sqrt{7}(\sqrt{3} + \sqrt{2} - 2\sqrt{5}) \cdot \frac{1}{7}\sqrt{7} + 2\sqrt{5}$

4. Выполним умножение:

Перемножим множители, содержащие $\sqrt{7}$:$\sqrt{7} \cdot \frac{1}{7}\sqrt{7} = \frac{1}{7} \cdot (\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}) = \frac{1}{7} \cdot 7 = 1$

Теперь выражение принимает вид:

$1 \cdot (\sqrt{3} + \sqrt{2} - 2\sqrt{5}) + 2\sqrt{5}$

$\sqrt{3} + \sqrt{2} - 2\sqrt{5} + 2\sqrt{5}$

5. Приведем подобные слагаемые:

Слагаемые $-2\sqrt{5}$ и $2\sqrt{5}$ взаимно уничтожаются:

$\sqrt{3} + \sqrt{2} + (-2\sqrt{5} + 2\sqrt{5}) = \sqrt{3} + \sqrt{2}$

3.80. Ответ: $\sqrt{3}+\sqrt{2}$.