устные вопросы и задания в § 14, страница 183 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

Соотнесите таблицы изменения функции в зависимости от изменения значений аргумента с функциями:

a) $f(x)=-3(x+1)^2+2$;

б) $g(x)=3(x-1)^2+2;

в) $h(x)=3(x-2)^2+1.$

1) x: $-\infty$, 2, $+\infty$. [стрелка вниз], [стрелка вверх]

2) x: $-\infty$, -1, $+\infty$. [стрелка вверх], [стрелка вниз]

3) x: $-\infty$, 1, $+\infty$. [стрелка вниз], [стрелка вверх]

Какие из указанных функций принимают только положительные значения?

Для того чтобы соотнести функции с таблицами, проанализируем каждую функцию. Все функции являются квадратичными, их графики — параболы. Общий вид уравнения параболы в вершинной форме: $y = a(x - x_0)^2 + y_0$, где $(x_0, y_0)$ — координаты вершины.

• Если коэффициент $a > 0$, ветви параболы направлены вверх. В точке $x = x_0$ функция достигает своего минимума. Функция убывает на промежутке $(-\infty, x_0]$ и возрастает на $[x_0, +\infty)$.
• Если коэффициент $a < 0$, ветви параболы направлены вниз. В точке $x = x_0$ функция достигает своего максимума. Функция возрастает на промежутке $(-\infty, x_0]$ и убывает на $[x_0, +\infty)$.

Коэффициент $a = -3 < 0$, следовательно, ветви параболы направлены вниз. Вершина находится в точке с абсциссой $x_0 = -1$. Функция возрастает на промежутке $(-\infty, -1]$ и убывает на $[-1, +\infty)$. Этому поведению соответствует таблица 2. Ответ: 2

Коэффициент $a = 3 > 0$, следовательно, ветви параболы направлены вверх. Вершина находится в точке с абсциссой $x_0 = 1$. Функция убывает на промежутке $(-\infty, 1]$ и возрастает на $[1, +\infty)$. Этому поведению соответствует таблица 3. Ответ: 3

Коэффициент $a = 3 > 0$, следовательно, ветви параболы направлены вверх. Вершина находится в точке с абсциссой $x_0 = 2$. Функция убывает на промежутке $(-\infty, 2]$ и возрастает на $[2, +\infty)$. Этому поведению соответствует таблица 1. Ответ: 1

Функция принимает только положительные значения, если ее наименьшее значение больше нуля. Это возможно для парабол, ветви которых направлены вверх ($a > 0$), и при этом ордината вершины $y_0$ также положительна, так как наименьшее значение функции равно $y_0$.

• Для функции $f(x)=-3(x+1)^2+2$ ветви направлены вниз ($a=-3$), поэтому она принимает как положительные, так и отрицательные значения.
• Для функции $g(x)=3(x-1)^2+2$ ветви направлены вверх ($a=3$), а её наименьшее значение равно $y_0 = 2$. Так как $2 > 0$, все значения функции $g(x)$ положительны.
• Для функции $h(x)=3(x-2)^2+1$ ветви направлены вверх ($a=3$), а её наименьшее значение равно $y_0 = 1$. Так как $1 > 0$, все значения функции $h(x)$ положительны.

Ответ: Функции $g(x)$ и $h(x)$ принимают только положительные значения.