Номер 3.88, страница 184 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.88. Приведите по два примера квадратичных функций, которые:

а) убывают на промежутке $[8; +\infty)$ и возрастают на промежутке $(-\infty; 8];

б) возрастают на промежутке $[-5; +\infty)$ и убывают на промежутке $(-\infty; -5].

а) убывают на промежутке $[8; +\infty)$ и возрастают на промежутке $(-\infty; 8]$

Для выполнения данного условия график квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ должен представлять собой параболу с ветвями, направленными вниз (что означает $a < 0$), и вершиной в точке, где абсцисса $x_в = 8$.

Абсцисса вершины параболы вычисляется по формуле $x_в = -\frac{b}{2a}$. Подставив $x_в = 8$, получим соотношение между коэффициентами: $8 = -\frac{b}{2a} \implies 16a = -b \implies b = -16a$.

Для составления примеров необходимо выбрать любое значение $a < 0$ и любое значение для свободного члена $c$, а затем вычислить соответствующий коэффициент $b$.

Пример 1. Выберем $a=-1$ и $c=0$. Тогда $b = -16 \cdot (-1) = 16$. Функция имеет вид: $y = -x^2 + 16x$.

Пример 2. Выберем $a=-2$ и $c=5$. Тогда $b = -16 \cdot (-2) = 32$. Функция имеет вид: $y = -2x^2 + 32x + 5$.

Ответ: $y = -x^2 + 16x$ и $y = -2x^2 + 32x + 5$.

б) возрастают на промежутке $[-5; +\infty)$ и убывают на промежутке $(-\infty; -5]$

В этом случае график функции должен быть параболой с ветвями, направленными вверх ($a > 0$), и вершиной в точке, где абсцисса $x_в = -5$.

Используем формулу для абсциссы вершины $x_в = -\frac{b}{2a}$. Подставив $x_в = -5$, получим: $-5 = -\frac{b}{2a} \implies -10a = -b \implies b = 10a$.

Для составления примеров необходимо выбрать любое значение $a > 0$ и любое значение для $c$, а затем вычислить $b$.

Пример 1. Выберем $a=1$ и $c=0$. Тогда $b = 10 \cdot 1 = 10$. Функция имеет вид: $y = x^2 + 10x$.

Пример 2. Выберем $a=3$ и $c=-4$. Тогда $b = 10 \cdot 3 = 30$. Функция имеет вид: $y = 3x^2 + 30x - 4$.

Ответ: $y = x^2 + 10x$ и $y = 3x^2 + 30x - 4$.