Номер 3.81, страница 175 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.81. (Задача Л. Эйлера.) Некий чиновник купил лошадей и быков за 1770 талеров. За каждую лошадь он заплатил по 31 талеру, за каждого быка — по 21 талеру. Сколько лошадей и сколько быков купил чиновник?

Для решения этой задачи необходимо составить и решить линейное диофантово уравнение. Пусть $x$ — количество купленных лошадей, а $y$ — количество купленных быков.

Согласно условию задачи:

• Стоимость одной лошади — 31 талер, значит, за $x$ лошадей заплатили $31x$ талеров.
• Стоимость одного быка — 21 талер, значит, за $y$ быков заплатили $21y$ талеров.
• Общая сумма покупки — 1770 талеров.

Составим уравнение:

$31x + 21y = 1770$

Поскольку $x$ и $y$ представляют собой количество животных, они должны быть целыми положительными числами ($x > 0$, $y > 0$).

Для решения уравнения выразим одну переменную через другую. Удобнее выразить $y$:

$21y = 1770 - 31x$

$y = \frac{1770 - 31x}{21}$

Чтобы $y$ был целым числом, числитель $(1770 - 31x)$ должен быть кратен 21. Запишем это условие с помощью сравнений по модулю 21:

$1770 - 31x \equiv 0 \pmod{21}$

Найдем остатки от деления коэффициентов на 21:

• $1770 = 84 \cdot 21 + 6 \implies 1770 \equiv 6 \pmod{21}$
• $31 = 1 \cdot 21 + 10 \implies 31 \equiv 10 \pmod{21}$

Подставим эти значения в наше сравнение:

$6 - 10x \equiv 0 \pmod{21}$

$10x \equiv 6 \pmod{21}$

Нам нужно найти такое целое число $x$, чтобы произведение $10x$ давало остаток 6 при делении на 21. Можно заметить, что $x=9$ является частным решением, так как $10 \cdot 9 = 90$, а $90 = 4 \cdot 21 + 6$.

Общее решение этого сравнения имеет вид $x \equiv 9 \pmod{21}$, что означает, что $x$ может принимать значения вида $x = 21k + 9$, где $k$ — целое число. Возможные значения $x$: $..., -12, 9, 30, 51, 72, ...$

Теперь воспользуемся ограничениями. Так как $x > 0$ и $y > 0$:

1. Из $x > 0$ следует, что $21k + 9 > 0$, что выполняется для $k \ge 0$.
2. Из $y > 0$ следует, что $1770 - 31x > 0$, откуда $31x < 1770$.
   $x < \frac{1770}{31} \approx 57.09$

Следовательно, $x$ должен быть меньше 57.09. Из ряда возможных значений для $x$ ($9, 30, 51, 72, ...$) нам подходят только те, что меньше 57.09:

• $x_1 = 9$ (при $k=0$)
• $x_2 = 30$ (при $k=1$)
• $x_3 = 51$ (при $k=2$)

Для каждого найденного значения $x$ вычислим соответствующее значение $y$:

• Если $x=9$, то $y = \frac{1770 - 31 \cdot 9}{21} = \frac{1770 - 279}{21} = \frac{1491}{21} = 71$.
• Если $x=30$, то $y = \frac{1770 - 31 \cdot 30}{21} = \frac{1770 - 930}{21} = \frac{840}{21} = 40$.
• Если $x=51$, то $y = \frac{1770 - 31 \cdot 51}{21} = \frac{1770 - 1581}{21} = \frac{189}{21} = 9$.

Таким образом, существует три возможных варианта покупки, удовлетворяющих условиям задачи.

Задача имеет три возможных решения:

• 9 лошадей и 71 бык.
• 30 лошадей и 40 быков.
• 51 лошадь и 9 быков.