Номер 3.35, страница 169 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.35. Постройте графики квадратичных функций $f(x) = -2(x - 1)^2 + 2$ и $g(x) = (x + 3)^2 - 4$. Определите, имеют ли параболы общие точки. Можно ли это определить, не выполняя построения графиков?

Постройте графики квадратичных функций $f(x) = -2(x-1)^2+2$ и $g(x) = (x+3)^2-4$.

Для построения графиков определим ключевые характеристики каждой параболы.

1. Анализ и построение графика функции $f(x) = -2(x-1)^2+2$

• Функция задана в вершинной форме $y = a(x-h)^2+k$.
• Вершина параболы находится в точке $(h; k)$, то есть в точке $(1; 2)$.
• Коэффициент $a = -2$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.
• Ось симметрии параболы — вертикальная прямая $x=1$.
• Точки пересечения с осями координат:
  • С осью OY (подставляем $x=0$):
    $f(0) = -2(0-1)^2+2 = -2(1)+2 = 0$. Точка пересечения — начало координат $(0; 0)$.
  • С осью OX (решаем уравнение $f(x)=0$):
    $-2(x-1)^2+2 = 0$
    $-2(x-1)^2 = -2$
    $(x-1)^2 = 1$
    $x-1 = 1$ или $x-1 = -1$
    $x=2$ или $x=0$. Точки пересечения: $(2; 0)$ и $(0; 0)$.
• Дополнительные точки для точности построения. Возьмем точки, симметричные относительно оси $x=1$ (например, $x = -1$ и $x = 3$):
  $f(-1) = -2(-1-1)^2+2 = -2(-2)^2+2 = -8+2 = -6$. Точка: $(-1; -6)$.
  $f(3) = -2(3-1)^2+2 = -2(2)^2+2 = -8+2 = -6$. Точка: $(3; -6)$.

Таким образом, график $f(x)$ — это парабола с вершиной в $(1; 2)$, ветвями вниз, проходящая через точки $(0; 0)$, $(2; 0)$, $(-1; -6)$, $(3; -6)$.

2. Анализ и построение графика функции $g(x) = (x+3)^2-4$

• Функция также задана в вершинной форме $y = a(x-h)^2+k$.
• Вершина параболы находится в точке $(h; k)$, то есть в точке $(-3; -4)$.
• Коэффициент $a = 1$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.
• Ось симметрии параболы — вертикальная прямая $x=-3$.
• Точки пересечения с осями координат:
  • С осью OY (подставляем $x=0$):
    $g(0) = (0+3)^2-4 = 9-4 = 5$. Точка пересечения: $(0; 5)$.
  • С осью OX (решаем уравнение $g(x)=0$):
    $(x+3)^2-4 = 0$
    $(x+3)^2 = 4$
    $x+3 = 2$ или $x+3 = -2$
    $x=-1$ или $x=-5$. Точки пересечения: $(-1; 0)$ и $(-5; 0)$.
• Дополнительные точки для точности построения. Возьмем точки, симметричные относительно оси $x=-3$ (например, $x = -2$ и $x = -4$):
  $g(-2) = (-2+3)^2-4 = 1^2-4 = -3$. Точка: $(-2; -3)$.
  $g(-4) = (-4+3)^2-4 = (-1)^2-4 = -3$. Точка: $(-4; -3)$.

Таким образом, график $g(x)$ — это парабола с вершиной в $(-3; -4)$, ветвями вверх, проходящая через точки $(-1; 0)$, $(-5; 0)$, $(0; 5)$, $(-2; -3)$, $(-4; -3)$.

Построив графики на одной координатной плоскости с использованием этих точек, можно увидеть, что они не пересекаются.

Ответ: Графики представляют собой две параболы. Первая, $f(x)$, имеет вершину в $(1; 2)$ и ветви вниз. Вторая, $g(x)$, имеет вершину в $(-3; -4)$ и ветви вверх.

Определите, имеют ли параболы общие точки.

Исходя из аналитического решения, представленного в следующем пункте, параболы не имеют общих точек. Визуально, при построении графиков, это также подтверждается: парабола $f(x)$ (область значений $(-\infty; 2]$) и парабола $g(x)$ (область значений $[-4; \infty)$) "смотрят" в разные стороны и разнесены в пространстве так, что не пересекаются.

Ответ: Нет, параболы не имеют общих точек.

Можно ли это определить, не выполняя построения графиков?

Да, наличие общих точек можно определить аналитически, без построения графиков. Общие точки двух графиков соответствуют решениям системы уравнений, образованной этими функциями. Для нахождения абсцисс ($x$) общих точек необходимо приравнять выражения для $f(x)$ и $g(x)$.

Решим уравнение $f(x) = g(x)$:

$-2(x-1)^2+2 = (x+3)^2-4$

Раскроем скобки:

$-2(x^2 - 2x + 1) + 2 = (x^2 + 6x + 9) - 4$

$-2x^2 + 4x - 2 + 2 = x^2 + 6x + 5$

$-2x^2 + 4x = x^2 + 6x + 5$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $Ax^2 + Bx + C = 0$, перенеся все слагаемые в правую часть:

$0 = x^2 + 2x^2 + 6x - 4x + 5$

$3x^2 + 2x + 5 = 0$

Теперь найдем дискриминант $D$ этого уравнения по формуле $D = B^2 - 4AC$:

Здесь $A=3, B=2, C=5$.

$D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 4 - 60 = -56$

Так как дискриминант $D = -56$ является отрицательным числом ($D < 0$), квадратное уравнение $3x^2 + 2x + 5 = 0$ не имеет действительных корней. Это означает, что не существует действительного значения $x$, при котором значения функций $f(x)$ и $g(x)$ были бы равны. Следовательно, графики этих функций не пересекаются.

Ответ: Да, можно. Для этого необходимо решить уравнение $f(x)=g(x)$. Если данное уравнение имеет действительные корни, то графики имеют общие точки. В нашем случае уравнение $3x^2 + 2x + 5 = 0$ не имеет действительных корней (его дискриминант отрицателен), поэтому параболы не имеют общих точек.