Номер 3.33, страница 168 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.33. Постройте графики функций и найдите координаты точек пересечения этих графиков:

а) $y = x^2 - 6x + 5$ и $y = -x + 1;

б) $y = x^2 - 4$ и $y = -x + 2;

в) $y = -x^2 + 4x - 5$ и $y = -2.

Проверьте полученные результаты.

Для построения графиков и нахождения точек их пересечения, сначала найдем координаты этих точек аналитически, решив систему уравнений. Затем опишем построение самих графиков для наглядной демонстрации.

Нахождение точек пересечения:

Приравняем правые части уравнений, так как в точках пересечения значения $y$ совпадают:

$x^2 - 6x + 5 = -x + 1$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$x^2 - 6x + x + 5 - 1 = 0$

$x^2 - 5x + 4 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью теоремы Виета:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = 5$

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 4$

Корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$.

Теперь найдем соответствующие ординаты ($y$), подставив значения $x$ в уравнение прямой $y = -x + 1$:

• При $x_1 = 1 \Rightarrow y_1 = -1 + 1 = 0$. Первая точка пересечения: $(1, 0)$.
• При $x_2 = 4 \Rightarrow y_2 = -4 + 1 = -3$. Вторая точка пересечения: $(4, -3)$.

Построение графиков:

1. График функции $y = x^2 - 6x + 5$ — это парабола. Так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1$), ветви параболы направлены вверх.

• Координаты вершины: $x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-6)}{2 \cdot 1} = 3$. $y_v = 3^2 - 6(3) + 5 = 9 - 18 + 5 = -4$. Вершина находится в точке $(3, -4)$.
• Пересечение с осью OY ($x=0$): $y = 5$. Точка $(0, 5)$.
• Пересечение с осью OX ($y=0$): $x^2 - 6x + 5 = 0$. Корни $x=1$ и $x=5$. Точки $(1, 0)$ и $(5, 0)$.

2. График функции $y = -x + 1$ — это прямая. Для построения найдем две точки:

• При $x=0$, $y=1$. Точка $(0, 1)$.
• При $y=0$, $x=1$. Точка $(1, 0)$.

Проверка:

Подставим координаты найденных точек в оба исходных уравнения.

Для точки $(1, 0)$:

• $0 = 1^2 - 6(1) + 5 \Rightarrow 0 = 0$ (верно).
• $0 = -1 + 1 \Rightarrow 0 = 0$ (верно).

Для точки $(4, -3)$:

• $-3 = 4^2 - 6(4) + 5 \Rightarrow -3 = 16 - 24 + 5 \Rightarrow -3 = -3$ (верно).
• $-3 = -4 + 1 \Rightarrow -3 = -3$ (верно).

Ответ: $(1, 0)$ и $(4, -3)$.

Нахождение точек пересечения:

Приравняем выражения для $y$:

$x^2 - 4 = -x + 2$

$x^2 + x - 6 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = -1$

$x_1 \cdot x_2 = -6$

Корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -3$.

Найдем соответствующие значения $y$ из уравнения $y = -x + 2$:

• При $x_1 = 2 \Rightarrow y_1 = -2 + 2 = 0$. Первая точка пересечения: $(2, 0)$.
• При $x_2 = -3 \Rightarrow y_2 = -(-3) + 2 = 5$. Вторая точка пересечения: $(-3, 5)$.

Построение графиков:

1. График функции $y = x^2 - 4$ — это парабола, смещенная на 4 единицы вниз вдоль оси OY. Ветви направлены вверх.

• Координаты вершины: $(0, -4)$.
• Пересечение с осью OX ($y=0$): $x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x = \pm 2$. Точки $(-2, 0)$ и $(2, 0)$.

2. График функции $y = -x + 2$ — это прямая.

• При $x=0$, $y=2$. Точка $(0, 2)$.
• При $y=0$, $x=2$. Точка $(2, 0)$.

Проверка:

Подставим координаты в уравнения.

Для точки $(-3, 5)$:

• $5 = (-3)^2 - 4 \Rightarrow 5 = 9 - 4 \Rightarrow 5 = 5$ (верно).
• $5 = -(-3) + 2 \Rightarrow 5 = 3 + 2 \Rightarrow 5 = 5$ (верно).

Для точки $(2, 0)$:

• $0 = 2^2 - 4 \Rightarrow 0 = 4 - 4 \Rightarrow 0 = 0$ (верно).
• $0 = -2 + 2 \Rightarrow 0 = 0$ (верно).

Ответ: $(-3, 5)$ и $(2, 0)$.

Нахождение точек пересечения:

Приравняем выражения для $y$:

$-x^2 + 4x - 5 = -2$

$-x^2 + 4x - 3 = 0$

Умножим обе части на -1 для удобства:

$x^2 - 4x + 3 = 0$

По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = 4$

$x_1 \cdot x_2 = 3$

Корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.

Значение $y$ для обеих точек задано вторым уравнением: $y = -2$.

Точки пересечения: $(1, -2)$ и $(3, -2)$.

Построение графиков:

1. График функции $y = -x^2 + 4x - 5$ — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ отрицателен ($a=-1$), ветви направлены вниз.

• Координаты вершины: $x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-4}{2(-1)} = 2$. $y_v = -(2)^2 + 4(2) - 5 = -4 + 8 - 5 = -1$. Вершина: $(2, -1)$.
• Пересечение с осью OY ($x=0$): $y = -5$. Точка $(0, -5)$.
• Пересечение с осью OX ($y=0$): $-x^2 + 4x - 5 = 0$. Дискриминант $D = 4^2 - 4(-1)(-5) = 16 - 20 = -4$. Так как $D < 0$, пересечений с осью OX нет.

2. График функции $y = -2$ — это горизонтальная прямая, проходящая через точку $(0, -2)$.

Проверка:

Подставим координаты в уравнение параболы.

Для точки $(1, -2)$:

• $-2 = -(1)^2 + 4(1) - 5 \Rightarrow -2 = -1 + 4 - 5 \Rightarrow -2 = -2$ (верно).

Для точки $(3, -2)$:

• $-2 = -(3)^2 + 4(3) - 5 \Rightarrow -2 = -9 + 12 - 5 \Rightarrow -2 = -2$ (верно).

Ответ: $(1, -2)$ и $(3, -2)$.