Номер 3.27, страница 167 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.27. В одной системе координат постройте графики функций $y = x^2$; $y = 2x^2$; $y = \frac{1}{3}x^2$; $y = -x^2$. Проанализируйте полученные результаты и сделайте вывод.

Для построения и анализа графиков функций $y = x^2$, $y = 2x^2$, $y = \frac{1}{3}x^2$ и $y = -x^2$ в одной системе координат, необходимо сначала составить таблицы значений для каждой функции. Все эти функции являются частными случаями квадратичной функции вида $y = ax^2$, графиком которой является парабола с вершиной в начале координат (0, 0).

Это базовая парабола, ветви которой направлены вверх. Составим для нее таблицу значений:

Ответ: Парабола с вершиной в (0,0), ветви направлены вверх, проходит через точки (-1,1), (1,1), (-2,4), (2,4).

Здесь коэффициент $a=2 > 1$. График будет "уже", чем у $y=x^2$, так как он растянут от оси OX в 2 раза. Каждая ордината (значение y) удваивается по сравнению с базовой параболой.

Ответ: Парабола с вершиной в (0,0), ветви направлены вверх, прижата к оси OY, проходит через точки (-1,2), (1,2), (-2,8), (2,8).

Здесь коэффициент $0 < a = \frac{1}{3} < 1$. График будет "шире", чем у $y=x^2$, так как он сжат к оси OX в 3 раза. Каждая ордината в 3 раза меньше, чем у базовой параболы.

Ответ: Парабола с вершиной в (0,0), ветви направлены вверх, "расширена" от оси OY, проходит через точки (-3,3), (3,3).

Здесь коэффициент $a=-1$. График является зеркальным отражением параболы $y=x^2$ относительно оси OX.

Ответ: Парабола с вершиной в (0,0), ветви которой направлены вниз.

Проанализировав построенные графики функций вида $y=ax^2$, можно сделать следующие выводы о влиянии коэффициента $a$ на вид параболы:

• Все графики — параболы, симметричные относительно оси OY, с вершиной в начале координат (0, 0).
• Знак коэффициента $a$ определяет направление ветвей параболы:
  • При $a > 0$ (как в $y=x^2, y=2x^2, y=\frac{1}{3}x^2$) ветви направлены вверх.
  • При $a < 0$ (как в $y=-x^2$) ветви направлены вниз.
• Модуль коэффициента $|a|$ влияет на "ширину" или "растяжение" параболы:
  • Если $|a| > 1$ (как в $y=2x^2$), график параболы "уже" (растянут вдоль оси OY) по сравнению с графиком $y=x^2$.
  • Если $0 < |a| < 1$ (как в $y=\frac{1}{3}x^2$), график параболы "шире" (сжат к оси OX) по сравнению с графиком $y=x^2$.
  • График функции $y=-x^2$ имеет ту же форму, что и $y=x^2$ (так как $|-1|=1$), но отражен симметрично относительно оси OX.

Вывод: Коэффициент $a$ в уравнении $y=ax^2$ полностью определяет форму и ориентацию параболы. Знак $a$ задает направление ветвей (вверх при $a>0$, вниз при $a<0$), а модуль $|a|$ — степень её растяжения или сжатия вдоль оси OY (чем больше $|a|$, тем "уже" парабола). Ответ: Коэффициент $a$ определяет направление ветвей и степень "сжатия" или "растяжения" параболы $y=ax^2$ относительно базовой параболы $y=x^2$.