Номер 3.24, страница 167 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.24. Постройте график квадратичной функции:

а) $y = x^2 - 2x - 8;$

б) $y = -x^2 + 5x - 6;$

в) $y = 2x^2 - 8x + 6;$

г) $y = \frac{1}{2}x^2 - 3x + 2.5.$

Для построения графика данной квадратичной функции $y = ax^2+bx+c$ выполним следующие шаги:

1. Направление ветвей параболы.
   Функция имеет вид $y = x^2 - 2x - 8$. Старший коэффициент $a = 1$. Поскольку $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.
2. Координаты вершины параболы.
   Абсциссу вершины находим по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$: $x_v = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$.
   Ординату вершины находим, подставляя $x_v$ в уравнение функции: $y_v = (1)^2 - 2(1) - 8 = 1 - 2 - 8 = -9$.
   Координаты вершины: $(1, -9)$.
3. Ось симметрии.
   Осью симметрии параболы является вертикальная прямая $x = x_v$, то есть $x = 1$.
4. Точки пересечения с осями координат.
   • С осью OY: подставляем $x = 0$. $y = 0^2 - 2(0) - 8 = -8$. Точка пересечения с осью OY: $(0, -8)$.
   • С осью OX: подставляем $y = 0$. $x^2 - 2x - 8 = 0$. Решаем квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$. $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{2 \pm 6}{2}$. $x_1 = \frac{2+6}{2} = 4$, $x_2 = \frac{2-6}{2} = -2$. Точки пересечения с осью OX: $(4, 0)$ и $(-2, 0)$.
5. Дополнительные точки.
   Используем симметрию относительно оси $x=1$. Точка $(0, -8)$ симметрична точке $(2, -8)$.
   Возьмем $x = 3$: $y = 3^2 - 2(3) - 8 = 9 - 6 - 8 = -5$. Точка $(3, -5)$. Симметричная ей точка $(-1, -5)$.

Построение графика.
На координатной плоскости отмечаем найденные точки: вершину $(1, -9)$, точки пересечения с осями $(0, -8)$, $(-2, 0)$, $(4, 0)$ и дополнительные точки $(2, -8)$, $(-1, -5)$, $(3, -5)$. Затем соединяем их плавной кривой, учитывая, что ветви направлены вверх.

Ответ: Ключевые точки для построения: вершина $(1, -9)$, точки пересечения с осями координат $(0, -8)$, $(-2, 0)$ и $(4, 0)$. В координатах ключевых точек неправильные дроби отсутствуют.

Для построения графика данной квадратичной функции выполним следующие шаги:

1. Направление ветвей параболы.
   Старший коэффициент $a = -1$. Поскольку $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.
2. Координаты вершины параболы.
   Абсцисса вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{5}{2 \cdot (-1)} = \frac{5}{2} = 2.5$.
   Ордината вершины: $y_v = -(\frac{5}{2})^2 + 5(\frac{5}{2}) - 6 = -\frac{25}{4} + \frac{25}{2} - 6 = \frac{-25+50-24}{4} = \frac{1}{4} = 0.25$.
   Координаты вершины: $(\frac{5}{2}, \frac{1}{4})$.
3. Ось симметрии.
   Ось симметрии: $x = 2.5$.
4. Точки пересечения с осями координат.
   • С осью OY ($x=0$): $y = -0^2 + 5(0) - 6 = -6$. Точка: $(0, -6)$.
   • С осью OX ($y=0$): $-x^2 + 5x - 6 = 0 \implies x^2 - 5x + 6 = 0$. По теореме Виета, $x_1+x_2=5, x_1 \cdot x_2=6$. Корни: $x_1 = 2$, $x_2 = 3$. Точки: $(2, 0)$ и $(3, 0)$.
5. Дополнительные точки.
   Используем симметрию относительно оси $x=2.5$. Точка $(0, -6)$ симметрична точке $(5, -6)$.
   Возьмем $x=1$: $y = -1^2 + 5(1) - 6 = -1+5-6 = -2$. Точка $(1, -2)$. Симметричная ей точка $(4, -2)$.

Построение графика.
Отмечаем на координатной плоскости вершину $(2.5, 0.25)$, точки пересечения с осями $(0, -6)$, $(2, 0)$, $(3, 0)$ и дополнительные точки $(5, -6)$, $(1, -2)$, $(4, -2)$. Соединяем их плавной кривой с ветвями вниз.

Ответ: Ключевые точки для построения: вершина $(2\frac{1}{2}, \frac{1}{4})$, точки пересечения с осями координат $(0, -6)$, $(2, 0)$ и $(3, 0)$. Целая часть абсциссы вершины $x_v = \frac{5}{2}$: 2.

Для построения графика данной квадратичной функции выполним следующие шаги:

1. Направление ветвей параболы.
   Старший коэффициент $a = 2$. Поскольку $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.
2. Координаты вершины параболы.
   Абсцисса вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-8}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$.
   Ордината вершины: $y_v = 2(2)^2 - 8(2) + 6 = 2 \cdot 4 - 16 + 6 = 8 - 16 + 6 = -2$.
   Координаты вершины: $(2, -2)$.
3. Ось симметрии.
   Ось симметрии: $x = 2$.
4. Точки пересечения с осями координат.
   • С осью OY ($x=0$): $y = 2(0)^2 - 8(0) + 6 = 6$. Точка: $(0, 6)$.
   • С осью OX ($y=0$): $2x^2 - 8x + 6 = 0 \implies x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, $x_1+x_2=4, x_1 \cdot x_2=3$. Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 3$. Точки: $(1, 0)$ и $(3, 0)$.
5. Дополнительные точки.
   Используем симметрию относительно оси $x=2$. Точка $(0, 6)$ симметрична точке $(4, 6)$.

Построение графика.
Отмечаем на координатной плоскости вершину $(2, -2)$, точки пересечения с осями $(0, 6)$, $(1, 0)$, $(3, 0)$ и симметричную точку $(4, 6)$. Соединяем их плавной кривой с ветвями вверх.

Ответ: Ключевые точки для построения: вершина $(2, -2)$, точки пересечения с осями координат $(0, 6)$, $(1, 0)$ и $(3, 0)$. В координатах ключевых точек неправильные дроби отсутствуют.

Для построения графика данной квадратичной функции выполним следующие шаги:

1. Направление ветвей параболы.
   Старший коэффициент $a = \frac{1}{2}$. Поскольку $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.
2. Координаты вершины параболы.
   Абсцисса вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-3}{2 \cdot \frac{1}{2}} = -\frac{-3}{1} = 3$.
   Ордината вершины: $y_v = \frac{1}{2}(3)^2 - 3(3) + 2.5 = \frac{1}{2} \cdot 9 - 9 + 2.5 = 4.5 - 9 + 2.5 = -2$.
   Координаты вершины: $(3, -2)$.
3. Ось симметрии.
   Ось симметрии: $x = 3$.
4. Точки пересечения с осями координат.
   • С осью OY ($x=0$): $y = \frac{1}{2}(0)^2 - 3(0) + 2.5 = 2.5$. Точка: $(0, 2.5)$.
   • С осью OX ($y=0$): $\frac{1}{2}x^2 - 3x + 2.5 = 0$. Умножим на 2, чтобы избавиться от дроби: $x^2 - 6x + 5 = 0$. По теореме Виета, $x_1+x_2=6, x_1 \cdot x_2=5$. Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 5$. Точки: $(1, 0)$ и $(5, 0)$.
5. Дополнительные точки.
   Используем симметрию относительно оси $x=3$. Точка $(0, 2.5)$ симметрична точке $(6, 2.5)$.
   Возьмем $x=2$: $y = \frac{1}{2}(2)^2 - 3(2) + 2.5 = \frac{1}{2}(4) - 6 + 2.5 = 2 - 6 + 2.5 = -1.5$. Точка $(2, -1.5)$. Симметричная ей точка $(4, -1.5)$.

Построение графика.
Отмечаем на координатной плоскости вершину $(3, -2)$, точки пересечения с осями $(0, 2.5)$, $(1, 0)$, $(5, 0)$ и дополнительные точки $(6, 2.5)$, $(2, -1.5)$, $(4, -1.5)$. Соединяем их плавной кривой с ветвями вверх.

Ответ: Ключевые точки для построения: вершина $(3, -2)$, точки пересечения с осями координат $(0, 2\frac{1}{2})$, $(1, 0)$ и $(5, 0)$. Целая часть ординаты точки пересечения с осью OY $y = 2.5 = \frac{5}{2}$: 2.