Номер 3.28, страница 167 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.28. На рисунке 55 изображен график одной из функций:

а) $y = -x^2 - 2x + 2;$

б) $y = -x^2 + 2x + 3;$

в) $y = -x^2 + x + 2;$

г) $y = -x^2 + 2x + 2.$

Определите, график какой функции изображен на рисунке. Объясните свой выбор.

Рис. 55

Для того чтобы определить, график какой из предложенных функций изображен на рисунке, необходимо проанализировать свойства параболы, представленной на графике, и сопоставить их со свойствами каждой из функций.

Анализ графика на рисунке 55:

• Направление ветвей: Ветви параболы направлены вниз, это означает, что коэффициент при $x^2$ (коэффициент $a$) должен быть отрицательным. Во всех предложенных вариантах $a = -1$, так что все они подходят по этому критерию.
• Координаты вершины: Вершина параболы — это ее самая высокая точка. Из графика видно, что вершина находится в точке с координатами $(1, 3)$.
• Пересечение с осью Y: График пересекает ось ординат (ось Y) в точке, где $x=0$. На рисунке видно, что это точка $(0, 2)$.

Теперь проверим каждую из предложенных функций на соответствие этим ключевым точкам. Координаты вершины параболы $y = ax^2 + bx + c$ вычисляются по формулам: $x_0 = \frac{-b}{2a}$, $y_0 = y(x_0)$.

Здесь $a = -1$, $b = -2$, $c = 2$. Найдем абсциссу вершины: $x_0 = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-2)}{2(-1)} = \frac{2}{-2} = -1$. Абсцисса вершины $x_0 = -1$ не совпадает с абсциссой вершины на графике ($x_0 = 1$).

Ответ: не подходит.

Здесь $a = -1$, $b = 2$, $c = 3$. Найдем абсциссу вершины: $x_0 = \frac{-b}{2a} = \frac{-2}{2(-1)} = 1$. Абсцисса вершины совпадает с графиком. Теперь найдем ординату вершины, подставив $x_0 = 1$ в уравнение функции: $y_0 = -(1)^2 + 2(1) + 3 = -1 + 2 + 3 = 4$. Вершина этой параболы находится в точке $(1, 4)$, что не соответствует вершине на графике $(1, 3)$.

Ответ: не подходит.

Здесь $a = -1$, $b = 1$, $c = 2$. Найдем абсциссу вершины: $x_0 = \frac{-b}{2a} = \frac{-1}{2(-1)} = \frac{1}{2}$. Абсцисса вершины $x_0 = \frac{1}{2}$ не совпадает с абсциссой вершины на графике ($x_0 = 1$).

Ответ: не подходит.

Здесь $a = -1$, $b = 2$, $c = 2$. Найдем абсциссу вершины: $x_0 = \frac{-b}{2a} = \frac{-2}{2(-1)} = 1$. Абсцисса вершины совпадает с графиком. Найдем ординату вершины: $y_0 = -(1)^2 + 2(1) + 2 = -1 + 2 + 2 = 3$. Вершина этой параболы находится в точке $(1, 3)$, что полностью соответствует графику на рисунке.
Дополнительно проверим точку пересечения с осью Y. При $x=0$, $y = -0^2 + 2(0) + 2 = 2$. Точка $(0, 2)$ принадлежит графику, что также совпадает с рисунком.

Ответ: подходит.

Вывод: Единственная функция, которая полностью соответствует графику на рисунке, — это функция г) $y = -x^2 + 2x + 2$.