Номер 3.29, страница 168 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.29. Постройте график квадратичной функции и выясните, сколько корней имеет уравнение $f(x) = 2$:

а) $f(x) = x^2 - 8x + 7;$

б) $f(x) = -4x^2 + 8x - 3;$

в) $f(x) = x^2 + 4x + 6;$

г) $f(x) = -x^2 + 4x;$

д) $f(x) = (x-3)^2;$

е) $f(x) = -x^2 + 2x - 1.$

Для того чтобы определить, сколько корней имеет уравнение $f(x) = 2$, нужно проанализировать график функции $y = f(x)$ и найти количество точек его пересечения с горизонтальной прямой $y=2$. Количество точек пересечения равно количеству корней уравнения.

Это квадратичная функция, ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $1$, он положительный, следовательно, ветви параболы направлены вверх. Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$:

$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-8}{2 \cdot 1} = 4$

$y_v = f(x_v) = 4^2 - 8 \cdot 4 + 7 = 16 - 32 + 7 = -9$

Вершина параболы находится в точке $(4, -9)$. Минимальное значение функции равно $-9$. Прямая $y=2$ проходит выше вершины параболы (поскольку $2 > -9$). Так как ветви параболы направлены вверх, прямая пересечет параболу в двух точках.

Ответ: 2 корня.

Это квадратичная функция, ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $-4$, он отрицательный, следовательно, ветви параболы направлены вниз. Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$:

$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2 \cdot (-4)} = -\frac{8}{-8} = 1$

$y_v = f(x_v) = -4 \cdot 1^2 + 8 \cdot 1 - 3 = -4 + 8 - 3 = 1$

Вершина параболы находится в точке $(1, 1)$. Максимальное значение функции равно $1$. Прямая $y=2$ проходит выше вершины параболы (поскольку $2 > 1$). Так как ветви параболы направлены вниз, прямая не пересечет параболу.

Ответ: 0 корней.

Это квадратичная функция, ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $1$, он положительный, следовательно, ветви параболы направлены вверх. Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$:

$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$

$y_v = f(x_v) = (-2)^2 + 4 \cdot (-2) + 6 = 4 - 8 + 6 = 2$

Вершина параболы находится в точке $(-2, 2)$. Минимальное значение функции равно $2$. Прямая $y=2$ проходит через вершину параболы. Следовательно, прямая имеет с параболой ровно одну общую точку.

Ответ: 1 корень.

Это квадратичная функция, ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $-1$, он отрицательный, следовательно, ветви параболы направлены вниз. Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$:

$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = -\frac{4}{-2} = 2$

$y_v = f(x_v) = -2^2 + 4 \cdot 2 = -4 + 8 = 4$

Вершина параболы находится в точке $(2, 4)$. Максимальное значение функции равно $4$. Прямая $y=2$ проходит ниже вершины параболы (поскольку $2 < 4$). Так как ветви параболы направлены вниз, прямая пересечет параболу в двух точках.

Ответ: 2 корня.

Это квадратичная функция, заданная в виде полного квадрата. Ее график — парабола, полученная сдвигом графика $y=x^2$ на 3 единицы вправо. Ветви параболы направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(3, 0)$. Минимальное значение функции равно $0$. Прямая $y=2$ проходит выше вершины параболы (поскольку $2 > 0$). Так как ветви параболы направлены вверх, прямая пересечет параболу в двух точках.

Ответ: 2 корня.

Преобразуем функцию, вынеся минус за скобки: $f(x) = -(x^2 - 2x + 1) = -(x-1)^2$. Это квадратичная функция, ее график — парабола, полученная из графика $y=-x^2$ сдвигом на 1 единицу вправо. Ветви параболы направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $(1, 0)$. Максимальное значение функции равно $0$. Прямая $y=2$ проходит выше вершины параболы (поскольку $2 > 0$). Так как ветви параболы направлены вниз, прямая не пересечет параболу.

Ответ: 0 корней.