Номер 3.25, страница 167 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.25. Постройте график квадратичной функции и найдите множество ее значений:

а) $f(x) = x^2 - 6x$;

б) $f(x) = -x^2 + 9$;

в) $f(x) = 2x^2 - 4x + 9$;

г) $f(x) = -3x^2$.

a) Функция $f(x) = x^2 - 6x$ является квадратичной, ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a=1$. Так как $a>0$, ветви параболы направлены вверх. Для построения графика и нахождения множества значений определим координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$.

Координаты вершины вычисляются по формулам:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3$
$y_0 = f(x_0) = f(3) = 3^2 - 6 \cdot 3 = 9 - 18 = -9$
Вершина параболы находится в точке $(3, -9)$.

Поскольку ветви параболы направлены вверх, наименьшее значение функция принимает в вершине. Это значение равно $y_0=-9$. Следовательно, множество значений функции — это все числа, не меньшие $-9$. Для построения графика также можно найти точки пересечения с осью OX: $x^2-6x=0 \Rightarrow x(x-6)=0$, откуда $x=0$ и $x=6$.

Ответ: Множество значений функции: $[-9; +\infty)$.

б) Функция $f(x) = -x^2 + 9$ является квадратичной, ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a=-1$. Так как $a<0$, ветви параболы направлены вниз. График можно получить смещением параболы $y=-x^2$ на 9 единиц вверх по оси OY. Найдем вершину параболы $(x_0, y_0)$.

Координаты вершины:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot (-1)} = 0$
$y_0 = f(x_0) = f(0) = -0^2 + 9 = 9$
Вершина параболы находится в точке $(0, 9)$.

Поскольку ветви параболы направлены вниз, наибольшее значение функция принимает в вершине. Это значение равно $y_0=9$. Следовательно, множество значений функции — это все числа, не большие $9$.

Ответ: Множество значений функции: $(-\infty; 9]$.

в) Функция $f(x) = 2x^2 - 4x + 9$ является квадратичной, ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a=2$. Так как $a>0$, ветви параболы направлены вверх. Найдем вершину параболы $(x_0, y_0)$.

Координаты вершины:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$
$y_0 = f(x_0) = f(1) = 2(1)^2 - 4(1) + 9 = 2 - 4 + 9 = 7$
Вершина параболы находится в точке $(1, 7)$.

Поскольку ветви параболы направлены вверх, наименьшее значение функция принимает в вершине. Это значение равно $y_0=7$. Следовательно, множество значений функции — это все числа, не меньшие $7$.

Ответ: Множество значений функции: $[7; +\infty)$.

г) Функция $f(x) = -3x^2$ является квадратичной ($a=-3, b=0, c=0$), ее график — парабола. Так как коэффициент $a=-3<0$, ветви параболы направлены вниз. Вершина такой параболы находится в начале координат, в точке $(0, 0)$.

Поскольку ветви параболы направлены вниз, наибольшее значение функция принимает в вершине. Это значение равно $y_0=0$. Следовательно, множество значений функции — это все числа, не большие $0$.

Ответ: Множество значений функции: $(-\infty; 0]$.