Номер 3.32, страница 168 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.32. На рисунке 57 изображен график квадратичной функции $y = 0,5x^2 - 2x - 2,5$. Определите координаты точек A; B; C; D; E.

Рис. 57

Для определения координат точек, изображенных на рисунке, воспользуемся заданной формулой квадратичной функции $y = 0,5x^2 - 2x - 2,5$.

A. Точка A является точкой пересечения графика с осью абсцисс (Ox), в которой координата $y=0$. Для нахождения абсциссы решим квадратное уравнение $0,5x^2 - 2x - 2,5 = 0$. Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим все члены уравнения на 2: $x^2 - 4x - 5 = 0$. Корни этого уравнения можно найти по теореме Виета или через дискриминант: $x_1 = -1$ и $x_2 = 5$. Поскольку точка A на графике расположена левее оси Oy, ее абсцисса отрицательна.
Ответ: $(-1; 0)$

B. Точка B является точкой пересечения графика с осью ординат (Oy), следовательно, ее абсцисса $x=0$. Подставим это значение в уравнение функции, чтобы найти ординату: $y = 0,5(0)^2 - 2(0) - 2,5 = -2,5$.
Ответ: $(0; -2\frac{1}{2})$

C. Точка C — это вершина параболы. Абсциссу вершины находим по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$. Для нашей функции $a=0,5$ и $b=-2$. Получаем: $x_v = -\frac{-2}{2 \cdot 0,5} = \frac{2}{1} = 2$. Ординату вершины находим, подставив значение $x_v=2$ в уравнение функции: $y_v = 0,5(2)^2 - 2(2) - 2,5 = 0,5 \cdot 4 - 4 - 2,5 = 2 - 4 - 2,5 = -4,5$.
Ответ: $(2; -4\frac{1}{2})$

D. Точка D, как и точка A, является точкой пересечения графика с осью Ox ($y=0$). Ее абсцисса — это второй корень уравнения $x^2 - 4x - 5 = 0$, который мы нашли ранее. Так как точка D расположена правее оси Oy, ее абсцисса положительна.
Ответ: $(5; 0)$

E. Точка E симметрична точке B относительно оси симметрии параболы, которая проходит через ее вершину C. Уравнение оси симметрии $x=x_v=2$. У симметричных точек ординаты равны, поэтому ордината точки E такая же, как у точки B: $y_E = -2,5$. Абсциссу точки E можно найти из условия, что расстояние по оси Ox от точки B до оси симметрии равно расстоянию от оси симметрии до точки E. Расстояние от B ($x=0$) до оси ($x=2$) равно 2. Значит, абсцисса E равна $2+2=4$.
Ответ: $(4; -2\frac{1}{2})$