Номер 3.15, страница 166 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.15. График функции $f(x) = a(x - m)^2 + n$ изображен на рисунке 54. Пользуясь графиком, найдите $a$, $m$ и $n$. Запишите функцию $y = f(x)$ в виде многочлена.

Рис. 54

Уравнение функции $f(x) = a(x - m)^2 + n$ — это уравнение параболы в вершинной форме, где точка с координатами $(m, n)$ является вершиной параболы.

1. Посмотрим на график. Вершина параболы (ее самая высокая точка) находится в точке с координатами $(3, 5)$.

Следовательно, координаты вершины $(m, n) = (3, 5)$.

Отсюда получаем значения $m$ и $n$:

• $m = 3$
• $n = 5$

2. Теперь уравнение функции имеет вид $f(x) = a(x - 3)^2 + 5$. Чтобы найти коэффициент $a$, нужно взять еще одну точку, принадлежащую графику. Возьмем точку с целочисленными координатами, например, $(2, 3)$.

3. Подставим координаты этой точки ($x=2$, $y=3$) в уравнение функции и решим его относительно $a$:

$3 = a(2 - 3)^2 + 5$

$3 = a(-1)^2 + 5$

$3 = a \cdot 1 + 5$

$3 = a + 5$

$a = 3 - 5$

$a = -2$

Ответ: $a = -2, m = 3, n = 5$.

Теперь, когда все коэффициенты известны, мы можем записать полное уравнение функции:

$y = -2(x - 3)^2 + 5$

Чтобы представить эту функцию в виде многочлена (в форме $y = Ax^2 + Bx + C$), необходимо раскрыть скобки и привести подобные слагаемые.

1. Сначала возведем в квадрат выражение в скобках, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(x - 3)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 - 6x + 9$

2. Подставим это выражение обратно в уравнение функции:

$y = -2(x^2 - 6x + 9) + 5$

3. Теперь умножим каждый член многочлена в скобках на $-2$:

$y = -2x^2 + 12x - 18 + 5$

4. И наконец, сложим постоянные члены (константы):

$y = -2x^2 + 12x - 13$

Ответ: $y = -2x^2 + 12x - 13$.